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प्रश्न
निम्नलिखित युगपत समीकरणों को हल कीजिए।
`1/(3"x" + "y") + 1/(3"x" - "y") = 3/4; 1/(2(3"x" + "y")) - 1/(2(3"x" - "y")) = -1/8`
उत्तर
`1/(3"x" + "y") + 1/(3"x" - "y") = 3/4` ........(I)
`1/(2(3"x" + "y")) - 1/(2(3"x" - "y")) = -1/8` ..........(II)
समीकरण (I) तथा (II) में `1/(3"x" + "y")` = m तथा `1/(3"x" - "y")` = n प्रतिस्थापित करने पर,
m + n = `3/4` ...........(III)
`"m"/2 - "n"/2 = -1/8` ...........(IV)
समीकरण के दोनों पक्षों में 4 से गुणा करने पर,
∴ 4 × m + 4 × n = `3/4 xx 4`
∴ 4m + 4n = 3 ..........(V)
समीकरण (IV) के दोनों पक्षों में 8 से गुणा करने पर,
∴ `8 xx "m"/2 - 8 xx "n"/2 = -8 xx 1/8`
∴ 4m − 4n = − 1 ..........(VI)
समीकरण (V) तथा समीकरण (VI) को जोड़ने पर,
4m + 4n = 3 ...........(V)
+ 4m − 4n = − 1 ............(VI)
8m = 2
∴ m = `2/8 = 1/4`
∴ m = `1/4`
समीकरण (V) में m = `1/4` प्रतिस्थापित करने पर,
4m + 4n = 3
∴ `4(1/4) + 4"n" = 3` ........(m मान प्रतिस्थापित करने पर)
∴ 1 + 4n = 3
∴ 4n = 3 − 1
∴ 4n = 2
∴ n = `2/4`
∴ n = `1/2`
m तथा n का मान प्रतिस्थापित करने पर,
`1/(3"x" + "y")` = m
∴ `1/(3"x" + "y") = 1/4`
∴ 3x + y = 4 ............(VII)
इसी प्रकार, `1/(3"x" - "y")` = n
∴ `1/(3"x" - "y") = 1/2`
∴ 3x − y = 2 ...........(VIII)
समीकरण (VII) तथा समीकरण (VIII) को जोड़ने पर,
3x + y = 4 ............(VII)
+ 3x − y = 2 ...........(VIII)
6x = 6
∴ x = 1
समीकरण (VII) में x = 1 प्रतिस्थापित करने पर,
3x + y = 4
∴ 3(1) + y = 4
∴ 3 + y = 4
∴ y = 4 − 3 = 1
∴ दिए गए समीकरणों का हल (x, y) = (1, 1) है।
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किसी दो अंकोंवाली संख्या मेंं उसके अंकों का स्थान परस्पर बदलने पर प्राप्त संख्या को जोड़ने पर योगफल 143 आता है। यदि दी गई संख्या के इकाई के स्थान का अंक, दहाई स्थान के अंक से 3 अधिक हो तो दी गई मूल संख्या कौन-सी है? उत्तर ज्ञात करने के लिए निम्नलिखित कृति पूर्ण कीजिए।
माना इकाई स्थान का अंक = x
दहाई स्थान का अंक = y
∴ मूल संख्या = `square` y + x
अंकों के परस्पर स्थान परिवर्तन से प्राप्त संख्या = `square` x + y
प्रथम शर्त के अनुसार: दो अंकोंवाली संख्या + अंकों के स्थान परिवर्तन से प्राप्त संख्या = 143
10x + y + `square` = 143
`square` x + `square` y = 143
x + y = `square` ...........(I)
दूसरी शर्त के अनुसार,
इकाई स्थान का अंक = दहाई स्थान का अंक + 3
x = `square` + 3
∴ x − y = 3 .................(II)
(I) तथा (II) को जोड़ने पर
2x = `square`
∴ x = 8
x = 8 समीकरण (I) मेंं रखने पर
x + y = 13
8 + `square` = 13
y = `square`
मूल संख्या = 10 y + x
= `square` + 8 = 58
