Question

सिद्ध कराः समांतरभुज चौकोनाच्या कर्णांच्या वर्गांची बेरीज ही त्या चौकोनाच्या बाजूंच्या वर्गांच्या बेरजेबरोबर असते.

Answer 1

पक्ष: `square`ABCD हा समांतरभुज चौकोन आहे. कर्ण AC व BD परस्परांना M बिंदूत छेदतात.

साध्य: AC² + BD² = AB² + BC² + CD² + AD²

सिद्धता:

`square`ABCD हा समांतरभुज चौकोन आहे. 

∴ AB = CD आणि BC = AD   .....(i) [समांतरभुज चौकोनाच्या समोरासमोरील बाजू]

AM = `1/2`AC आणि BM = `1/2`BD ....(ii) [समांतरभुज चौकोनाचे कर्ण परस्परांना दुभागतात.]

∴ M हा कर्ण AC आणि BD चा मध्यबिंदू आहे.  ...(iii)

ΔABC मध्ये,

रेख BM ही मध्यगा आहे. ......[(iii) वरून]

AB² + BC² = 2AM² + 2BM²  .....(iv) [अपोलोनिअसचे प्रमेय]

∴ AB² + BC² = `2(1/2"AC")^2 + 2(1/2"BD")^2` ....[(ii) आणि (iv) वरून] 

∴ AB² + BC² = `2 xx ("BD"^2)/4 + 2 xx "AC"^2/4`

∴ AB² + BC² = `("BD"^2)/2 + "AC"^2/2`

∴ 2AB² + 2BC² = BD² + AC²  ....[दोन्ही बाजूंना 2 ने गुणून]

∴ AB² + AB² +BC² + BC² = BD² + AC²

∴ AB² + CD² +BC² + AD² = BD² + AC²   ....[(i) वरून] 

म्हणजेच AC² + BD² = AB² + BC² + CD² + AD²