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प्रश्न
सिद्ध करो: ''चक्रीय चतुर्भुज के सम्मुख कोण परस्पर संपूरक होते हैं।''
उत्तर
कथन: चक्रीय चतुर्भुज के सम्मुख कोण परस्पर संपूरक होते हैं।
दत्त: □ABCD एक चक्रीय चतुर्भुज है।
साध्य: ∠DAB + ∠DCB = 180°
∠ABC + ∠ADC = 180°
उपपत्ति: ∠DAB यह चाप DAB में अंतर्लिखित है तथा इसके द्वारा चाप DCB अंत:खंडित होता है।
∴ ∠DAB = `1/2` m(चाप DCB) ...(अंतर्लिखित कोण का प्रमेय) ...(1)
∠DCB यह चाप DCB में अंतर्लिखित है तथा इसके द्वारा चाप DAB अंत:खंडित होता है।
∴ ∠DCB = `1/2` m(चाप DAB) ...(अंतर्लिखित कोण का प्रमेय) ...(2)
(1) तथा (2) को जोड़ने पर,
∠DAB + ∠DCB = `1/2` m(चाप DCB) + `1/2` m(चाप DAB)
∴ ∠DAB + ∠DCB = `1/2` m(चाप DCB) + m(चाप DAB)]
चाप DCB तथा चाप DAB मिलकर एक पूरा वृत्त बनता है।
∴ ∠DAB + ∠DCB = `1/2` × 360° ...(वृत्त के सभी चापों के मापों का योग)
∴ ∠DAB + ∠DCB = 180°
इसी प्रकार, हम सिद्ध कर सकते हैं कि ∠ABC + ∠ADC = 180°.
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