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प्रश्न
उस समतल का सदिश समीकरण ज्ञात कीजिए जो समतलों `vec"r".(2hat"i" + 2hat"j" - 3hat"k") = 7, vec"r" (2hat"i" + 5hat"j" +3hat"k") = 9` के प्रतिच्छेदन रेखा और (2, 1, 3) से होकर जाता है।
उत्तर
दिये गये समतलों `vec"r".(2hat"i" + 2hat"j" - 3hat"k") = 7, vec"r". (2hat"i" + 5hat"j" +3hat"k") = 9` के प्रतिच्छेदन से होकर जाने वाला समतल
`vec"r".(2hat"i" + 2hat"j" - 3hat"k") - 7 + λvec"r". (2hat"i" + 5hat"j" +3hat"k") - 9 = 0` ....(i)
यह समीकरण बिंदु (2, 1, 3) अर्थात् `2hat"i" + hat"j" +3hat"k"` से होकर जाता है।
`(2hat"i" + hat"j" + 3hat"k")[(2hat"i" + 2hat"j" - 3hat"k") - 7] λ [(2hat"i" + hat"j" + 3hat"k"). (2hat"i" + 5hat"j" + 3hat"k") - 9] = 0`
या 4 + 2 − 9 − 7 + λ. (4 + 5 + 9 − 9) = 0
−10 + 9λ = 0 या λ = `10/9`
λ का मान समीकरण (i) में रखने पर
`vec"r".(2hat"i" + 2hat"j" - 3hat"k") - 7 + (10/9) [vec"r". (2hat"i" + 5hat"j" +3hat"k") - 9] = 0`
या `9[vec"r".(2hat"i" + 2hat"j" - 3hat"k") - 7] + (10)[vec"r". (2hat"i" + 5hat"j" +3hat"k") - 9] = 0`
`vec"r"[9.(2hat"i" + 2hat"j" - 3hat"k") + (10).(2hat"i" + 5hat"j" +3hat"k")] - 63 - 90 = 0`
या `vec"r" [(18 + 20)hat"i" + (18 + 50)hat"j" + (-27 + 30) hat"k"] - 153 = 0`
अभीष्ट समतल का समीकरण
`vec"r". (38hat"i" + 68hat"j" + 3hat"k") - 153 = 0`
या `vec"r". (38hat"i" + 68hat"j" + 3hat"k") = 153`
