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प्रश्न
यदि A = `[(1,1,1),(1,1,1),(1,1,1)]`, तो सिद्ध कीजिए कि `"A"^"n" = [(3^{n - 1},3^{n - 1},3^{n - 1}),(3^{n - 1},3^{n - 1},3^{n - 1}),(3^{n - 1},3^{n - 1},3^{n - 1})]`, n ∈ N
उत्तर
यह दिया गया है कि, A = `[(1,1,1),(1,1,1),(1,1,1)]`
सिद्ध करना है: P(n): `"A"^"n" = [(3^{n - 1},3^{n - 1},3^{n - 1}),(3^{n - 1},3^{n - 1},3^{n - 1}),(3^{n - 1},3^{n - 1},3^{n - 1})],` n ∈ N
हम गणितीय प्रेरण के सिद्धांत का उपयोग करके परिणाम को सिद्ध करेंगे।
n = 1 के लिए, हमारे पास है:
P(1):`[(3^{1 - 1},3^{1 - 1},3^{1 - 1}),(3^{1 - 1},3^{1 - 1},3^{1 - 1}),(3^{1 - 1},3^{1 - 1},3^{1 - 1})] = [(3^0,3^0,3^0),(3^0,3^0,3^0),(3^0,3^0,3^0)] = [(1,1,1),(1,1,1),(1,1,1)] = A`
इसलिए, परिणाम n = 1 के लिए सत्य है।
मान लीजिए कि n = k के लिए परिणाम सत्य है।
P(k): `"A"^"k" = [(3^{k - 1},3^{k - 1},3^{k - 1}),(3^{k - 1},3^{k - 1},3^{k - 1}),(3^{k - 1},3^{k - 1},3^{k - 1})]`
अब, हम सिद्ध करते हैं कि परिणाम n = k + 1 के लिए सत्य है।
अब, `"A"^{"k" + 1} = "A" * "A"^"k"`
= `[(1,1,1),(1,1,1),(1,1,1)][(3^{k - 1},3^{k - 1},3^{k - 1}),(3^{k - 1},3^{k - 1},3^{k - 1}),(3^{k - 1},3^{k - 1},3^{k - 1})]`
= `[(3*3^{k - 1},3*3^{k - 1},3*3^{k - 1}),(3*3^{k - 1},3*3^{k - 1},3*3^{k - 1}),(3*3^{k - 1},3*3^{k - 1},3*3^{k - 1})]`
= `[(3^{(k + 1) - 1},3^{(k + 1) - 1},3^{(k + 1) - 1}),(3^{(k + 1) - 1},3^{(k + 1) - 1},3^{(k + 1) - 1}),(3^{(k + 1) - 1},3^{(k + 1) - 1},3^{(k + 1) - 1})]`
इसलिए, परिणाम n = k + 1 के लिए सत्य है।
इस प्रकार गणितीय प्रेरण के सिद्धांत से,
हमारे पास है:
`"A"^"n" = [(3^{n - 1},3^{n - 1},3^{n - 1}),(3^{n - 1},3^{n - 1},3^{n - 1}),(3^{n - 1},3^{n - 1},3^{n - 1})]`, n ∈ N
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