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प्रश्न
यदि दो समांतर श्रेढ़ियों 9, 7, 5,... और 24, 21, 18,... के n वें पद एक ही हैं, तो n का मान ज्ञात कीजिए। साथ ही, वह पद भी ज्ञात कीजिए।
उत्तर
मान लीजिए AP: 9, 7, 5,... का पहला पद, सामान्य अंतर और पदों की संख्या क्रमशः a1, d1 और n1 है।
अर्थात्, पहला पद (a1) = 9
और सार्व अंतर (d1) = 7 – 9 = – 2
∴ इसका n वाँ पद,
⇒ `T_(n_1)^(')` = a1 + (n1 – 1)d1
⇒ `T_(n_1)^(')` = 9 + (n1 – 1)(– 2)
⇒ `T_(n_1)^(')` = 9 – 2n1 + 2
⇒ `T_(n_1)^(')` = 11 – 2n1 [∵ AP का n वाँ पद, Tn = a + (n – 1)d]...(i)
मान लीजिए AP: 24, 21, 18,... का पहला पद, सामान्य अंतर और पदों की संख्या क्रमशः a2, d2 और n2 है।
अर्थात, पहला पद, (a2) = 24
और सामान्य अंतर (d2) = 21 – 24 = – 3
∴ इसका n वाँ पद,
`T_(n_2)^('')` = a2 + (n2 – 1)d2
⇒ `T_(n_2)^('')` = 24 + (n2 – 1)(– 3)
⇒ `T_(n_2)^('')` = 24 – 3n2 + 3
⇒ `T_(n_2)^('')` = 27 – 3n2 ...(ii)
अब, दी गई शर्त से,
दोनों AP का n वाँ पद समान है।
अर्थात्, `T_(n_1)^(') = T_(n_2)^('')`
11 – 2n1 = 27 – 3n2 ...[समीकरण (i) और (ii) से]
⇒ n = 16
∴ पहले AP का n वाँ पद,
`T_(n_1)^(')` = 11 – 2n1
= 11 – 2(16)
= 11 – 32
= – 21
और दूसरे AP का n वाँ पद,
`T_(n_2)^('')` = 27 – 3n2
= 27 – 3(16)
= 27 – 48
= – 21
अतः, n का मान 16 है और वह पद अर्थात् n वाँ पद – 21 है।
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