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Question
किसी समद्विबाहु त्रिभुज में सर्वांगसम भुजाओं की लंबाई 13 सेमी तथा आधार की लंबाई 10 सेमी हो तो उस त्रिभुज की माध्यिकाओं के संगमन बिंदु से आधार के सम्मुख शीर्षबिंदु तक की दूरी ज्ञात कीजिए।
Solution
माना ΔABC एक दिया गया समद्विबाहु त्रिभुज है।
AB = AC = 13 सेमी,
BC = 10 सेमी
रेख AM ⊥ भुजा BC इस प्रकार खींचो कि, B-M-C.
ΔAMB और ΔAMC में,
∠AMB = ∠AMC = 90° ...(रचना)
कर्ण AB ≅ भुजा AC ...(दिया है)
भुजा AM ≅ भुजा AM ...(सामान्य भुजा)
∴ ΔAMB ≅ ΔAMC ...(कर्ण भुजा प्रमेय)
∴ रेख BM ≅ रेख CM ...(स. त्रि. सं. भु.) ...(1)
∴ BM = CM = `1/2`BC
∴ BM = CM = `1/2 xx 10`
∴ BM = CM = 5 सेमी।
ΔAMB में,
∠AMB = 90° ...(रचना)
∴ पायथागोरस के प्रमेय से,
AB2 = AM2 + BM2
∴ 132 = AM2 + 52
∴ `"AM"^2 = 13^2 - 5^2`
∴ `"AM"^2` = 169 - 25
∴ `"AM"^2` = 144
∴ `"AM"^2` = 12 सेमी ...(दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर)
अब, BM = MC ....[(1) से]
∴ रेख AM यह माध्यिका है। .... (परिभाषा से)
∴ माध्यिकाओं का संगमन बिंदु G, माध्यिका पर स्थित है।
केंद्रक के गुणधर्म से,
AG = `2/3`AM
∴ AG = `2/3 xx 12`
∴ AG = 8 सेमी
त्रिभुज की माध्यिकाओं के संगमन बिंदु से आधार के सम्मुख शीर्षबिंदु तक की दुरी 8 सेमी है।
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