Question

आकृती मध्ये रेषा AB || रेषा CD व रेषा PS ही त्यांची छेदिका आहे. किरण QX, किरण QY, किरण RX, किरण RY हे काेनदुभाजक आहेत, तर `square`QXRY हा आयत आहे हे दाखवा.

Answer 1

पक्ष: AB आणि CD या दोन समांतर रेषा आहेत ज्या अनुक्रमे Q आणि R बिंदूंवर छेदिका PS द्वारे कापल्या जातात. आतील कोनांचे दुभाजक X आणि Y बिंदूंना छेदतात.

साध्य: `square`QXRY हा आयत आहे.

सिद्धता: रेषा AB || रेषा CD व रेषा PS ही त्यांची छेदिका आहे.

∠AQR = ∠DRQ    ...(आंतरव्युत्क्रम कोन)

⇒ `1/2` ∠AQR = `1/2`∠DRQ    ...(1)

किरण QK हे ∠AQR चे दुभाजक आहे आणि किरण RK हे ∠DRQ चे दुभाजक आहे, तर

∠XQR = `1/2`∠AQR आणि ∠YRQ = `1/2`∠DRQ 

∴ (1) वरून

∠XQR = ∠YRQ

∠XQR आणि ∠YRQ हे रेषा QR आणि छेदिका QX आणि RY द्वारे तयार झालेले आंतरव्युत्क्रम कोन आहेत.

∴ QX || RY    ...(व्युत्क्रम कोन कसाेटी)

त्याचप्रमाणे, RX || QY.

म्हणून, `square`QXRY मध्ये, QX || आहे RY आणि RX || QY

ज्या चौकोनाच्या संमुख बाजूंच्या जोड्या एकरूप असतात तो चौकोन समांतरभुज असतो.

QXRY हे समांतरभुज आहे.

∠BQR + ∠DRQ = 180^∘

⇒ `1/2` ∠BQR + `1/2` ∠DRQ = 90^∘    ...(2)

किरण QY हे ∠BQR चे दुभाजक आहे आणि किरण RY हे ∠DRQ चे दुभाजक आहे, तर

∠YQR = `1/2`∠BQR आणि ∠YRQ = `1/2`∠DRQ

∴ (2) वरून

∠YQR + ∠YRQ =  90^∘    ...(3)

∆QRY मध्ये,

∠YQR + ∠YRQ + ∠QYR = 180^∘   ...(त्रिकोणाचे कोन बेरीज गुणधर्म)

⇒ 90^∘ + ∠QYR = 180^∘ ...[(3) वरून]

⇒ ∠QYR = 180^∘ − 90^∘ 

⇒ ∠QYR = 90^∘

QXRY हे समांतरभुज चौकोन आहे, तर

∠QXR = ∠QYR    ...(समांतरभुज चौकोनाचे संमुख कोन एकरूप असतात.)

⇒ ∠QXR = 90^∘   ...(∵ ∠QYR = 90^∘)

समांतरभुज चौकोनाचे लगतचे कोन पूरक असतात, तर 

∠QXR + ∠XRY = 180^∘

⇒ 90^∘ + ∠XRY = 180^∘    ...(∵ ∠QXR = 90^∘)

⇒ ∠XRY = 180^∘ − 90^∘ 

⇒ ∠XRY = 90^∘

∠XQY = ∠XRY = 90^∘   ...(समांतरभुज चौकोनाचे संमुख कोन एकरूप असतात.)

अशा प्रकारे, QXRY हा एक समांतरभुज चौकोन आहे ज्याचे सर्व आंतरकोन काटकोन आहेत.

आयत हा एक समांतरभुज चौकोन आहे ज्यामध्ये प्रत्येक कोन काटकोन असतो.

∴ `square`QXRY हा आयत आहे.