Question

आकृति में, रेख EF व्यास और रेख DF स्पर्श रेखाखंड है। वृत्त की त्रिज्या r हो, तो सिद्ध कीजिए - DE × GE = 4r²   

 

Answer 1

रेखा DF वृत्त की स्पर्श रेखा है जो कि वृत्त को बिंदु F पर स्पर्श करती है | छेदन रेखा DGE वृत्त को बिंदु G और E पर प्रतिच्छेदित करती है |

∴ स्पर्श रेखा-छेदन रेखा रेखाखंडों प्रमेय से,

DF² = DG × DE ..........(1)

ΔDFE में, ∠DFE = 90° .........(स्पर्श रेखा के प्रमेय से)

∴ पायथागोरस के प्रमेय से,

DE² = DF² + EF²  

∴ DE² = DF² + (2r)² .............(वृत्त का व्यास त्रिज्या का दो गुना होता है)

∴ DE² = DF² + 4r² .

∴ 4r² = DE² - DF²  

∴ 4r² = DE² - DG × DE ........[(1) से]

∴ 4r² = DE(DE - DG)

∴ 4r² = DE × GE

∴ DE × GE = 4r²