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Question
आकृति में, रेखा PR वृत्त को Q बिंदु पर स्पर्श करती है। आकृति के आधार पर निम्नलिखित प्रश्नों के उत्तर लिखिए।
(1) ∠TAQ और ∠TSQ के मापों का योगफल कितना होगा?
(2) ∠AQP के सर्वांगसम कोण का नाम बताइए।
(3) ∠QTS के सर्वांगसम कोण का नाम बताइए।
(4) यदि ∠TAS = 65°, तो ∠TQS और चाप TS के माप बताइए।
(5) यदि ∠AQP = 42° और ∠SQR = 58°, तो ∠ATS के माप ज्ञात कीजिए।
Solution
(1) `square` TAQS चक्रीय चतुर्भुज है .........(परिभाषा से)
चक्रीय चतुर्भुज के प्रमेय से,
∠TAQ + ∠TSQ = 180°.
(2) ∠ATQ तथा ∠ASQ दोनों ∠AQP के सर्वांगसम है | ....(स्पर्श रेखा-छेदन रेखा प्रमेय)
(3) वृत्त के एक ही चाप में अंतर्लिखित सभी कोण सर्वांगसम होते हैं |
∴ ∠QAS ≅ ∠QTS.
∠SQR ≅ ∠QTS. ................(स्पर्श रेखा-छेदन रेखा प्रमेय)
(4) वृत्त के एक ही चाप में अंतर्लिखित सभी कोण सर्वांगसम होते हैं |
∴ ∠TQS ≅ ∠TAS
∴ ∠TQS = 65°
∠TAS = `1/2`m(चाप TS) ...........(अंतर्लिखित कोण प्रमेय से)
∴ 65° = `1/2`m(चाप TS)
∴ m(चाप TS) = 65° × 2
∴ m(चाप TS) = 130°.
(5) ∴ `{:(∠"AQP" = ∠"ATQ" = 42°),(और ∠"QTS" = ∠"SQR" = 58°):}}` ............(स्पर्श रेखा-छेदन रेखा प्रमेय)
∠ATS = ∠ATQ + ∠QTS ..........(कोणों के मापों का योग गुणधर्म)
∴ ∠ATS = `42^circ + 58^circ`
∴ ∠ATS = 100°.
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