Question

Decompose into Partial Fractions:

`(6x^2 - 14x - 27)/((x + 2)(x - 3)^2)`

Answer 1

`(6x^2 - 14x - 27)/((x + 2)(x - 3)^2) = "A"/(x + 2) + "B"/(x - 3) + "C"/(x - 3)^2`

6x² - 14x - 27 = A(x - 3)² + B(x + 2)(x - 3) + C(x + 2)   ....(1)

Substituting x = 3 in (1) we get,

∴ 6(3)² - 14(3) - 27 = A(3 - 3)² + B(3 + 2)(3 - 3) + C(3 + 2)

⇒ 54 - 42 - 27 = A(0) + B(5)(0) + C(5)

⇒ - 15 = 5C

⇒ C = - 3

Substituting x = -2 in (1) we get,

∴ 6(-2)² - 14(-2) - 27 = A(-2 - 3)² + B(-2 + 2)(-2 - 3) + C(- 2 + 2)

⇒ 24 + 28 - 27 = A(25) + B(0)(-5) + C(0)

⇒ 24 + 28 - 27 = A(25)

⇒ 25 = A(25)

⇒ A = 1

Substituting x = 0 in (1) we get,

∴ 6(0)² - 14(0) - 27 = A(0 - 3)² + B(0 + 2)(0 - 3) + C(0 + 2)

⇒ - 27 = A(-3)² + B(2)(-3) + C(2)

⇒  - 27 = 9A - 6B + 2C

⇒ - 27 = 9(1) - 6B + 2(-3)  ....[∵ A = 1, C = - 3]

⇒ - 27 = 9 - 6B - 6

⇒ - 27 = 3 - 6B

⇒ 6B = 3 + 27

⇒ 6B = 30

⇒ B = 5

∴ `(6x^2 - 14x - 27)/((x + 2)(x - 3)^2) = 1/(x + 2) + 5/(x - 3) - 3/(x - 3)^2`