Question

Decompose into Partial Fractions:

`(5x^2 - 8x + 5)/((x - 2)(x^2 - x + 1))`

Answer 1

`(5x^2 - 8x + 5)/((x - 2)(x^2 - x + 1)) = "A"/(x - 2) + ("B"x + "C")/(x^2 - x + 1)`

⇒ 5x² - 8x + 5 = A(x² - x + 1) + (Bx + C)(x - 2)  ...(1)

Substituting x = 2 in (1) we get,

⇒ 5(2)² - 8(2) + 5 = A((2)² - (2) + 1) + (B(2) + C)(2 - 2)

⇒ 20 - 16 + 5 = A(3) + (2B + C)(0)

⇒ 9 = A(3)

⇒ A = `9/3`

⇒ A = 3

Equating the co-efficient of x² in (1) we get,

⇒ 5 = A + B

⇒ 5 = 3 + B

⇒ B = 2   ...[∵ A = 3]

Substituting x = 0 in (1) we get,

5(0)² - 8(0) + 5 = A(0² - 0 + 1) + (B(0) + C)(0 - 2)

⇒ 5 = A - 2C

⇒ 5 = 3 - 2C

⇒ 2 = - 2C

⇒ C = - 1

∴ `(5x^2 - 8x + 5)/((x - 2)(x^2 - x + 1)) = 3/(x - 2) + (2x + 1)/(x^2 - x + 1)`