Advertisements
Advertisements
Question
दो संख्याओं का योगफल उनके गुणोत्तर माध्य का 6 गुना है तो दिखाइए कि संख्याएँ `(3 + 2sqrt2) : (3 - 2sqrt2)` के अनुपात में हैं।
Solution
मान लीजिए संख्याएँ a और b हों, तब
a और b का गुणोत्तर माध्य = `sqrt"ab"`
दिया है: a + b = `6sqrt"ab"`
`"a"+ "b" + 2sqrt"ab" = 8sqrt"ab"`
`(sqrt"a" + sqrt"b")^2 = 8sqrt"ab"` ........(i)
`"a" + "b" - 2 sqrt"ab" = 4sqrt"ab"`
`(sqrt"a" - sqrt"b")^2 = 4sqrt"ab"` .........(ii)
समीकरण (i) को (ii) से भाग देने पर,
`(sqrt"a" + sqrt"b")^2/(sqrt"a" - sqrt"b")^2 = (8sqrt"ab")/(4sqrt"ab") = 2`
या `(sqrt"a" + sqrt"b")/(sqrt"a" - sqrt"b") = sqrt2/1`
⇒ `((sqrt"a" + sqrt"b") + (sqrt"a" - sqrt"b"))/((sqrt"a" + sqrt"b") - (sqrt"a" - sqrt"b")) =(sqrt2 + 1)/(sqrt2 - 1)`
`(2sqrt"a")/(2sqrt"b") = sqrt"a"/sqrt"b" = (sqrt2 + 1)/(sqrt2 - 1)`
वर्ग करने पर, `"a"/"b" =(sqrt2 + 1)^2/(sqrt2 - 1)^2 = (3 + 2sqrt2)/(3 - 2sqrt2)`
अतः `"a"/"b" =(3 + 2sqrt2)/(3 - 2sqrt2)`
APPEARS IN
RELATED QUESTIONS
n का मान ज्ञात कीजिए ताकि `("a"^("n"+ 1) + "b"^("n" + 1))/("a"^"n" + "b"^"n")`, a तथा b के बीच गुणोत्तर माध्य हो।
यदि A तथा G दो धनात्मक संख्याओं के बीच क्रमशः समांतर तथा गुणोत्तर माध्य हों, तो सिद्ध कीजिए कि संख्याएँ `"A" ± sqrt(("A" + "G")("A" - "G"))` हैं।
किसी कल्चर में बैक्टीरिया की संख्या प्रत्येक घंटे के पश्चात् दुगुनी हो जाती है। यदि प्रारंभ में उसमें 30 बैक्टीरिया उपस्थित थे, तो बैक्टीरिया की संख्या दूसरे, चौथे तथा nवें घंटों बाद क्या होगी?
500 रुपए धनराशि 10% वार्षिक चक्रवृद्धि ब्याज पर 10 वर्षों बाद क्या हो जाएगी, ज्ञात कीजिए?
यदि किसी द्विघात समीकरण के मूलों के समांतर माध्य एवं गुणोत्तर माध्य क्रमशः 8 तथा 5 हैं, तो द्विघात समीकरण ज्ञात कीजिए।
दो धनात्मक संख्याओं a तथा b के बीच समांतर माध्य तथा गुणोत्तर माध्य का अनुपात m : n है। दर्शाइए कि a : b = `("m" + sqrt("m"^2 - "n"^2)) : ("m" - sqrt("m"^2 - "n"^2))`
