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Question
दर्शाइए कि किसी पूर्णांक q के लिए, किसी विषम पूर्णांक का वर्ग 4q+1 के रूप का होता है।
Solution
यूक्लिड के विभाजन एल्गोरिथ्म द्वारा, हमारे पास a = bm + r है, जहां 0 ≤ r < b … (i)
समीकरण (i) में b = 4 रखने पर, हमें मिलता है।
a = 4m + r, जहाँ 0 ≤ r < 4, यानी, r = 0, 1, 2, 3
यदि r = 0 `\implies` a = 4m, 4m, 2 से विभाज्य है `\implies` 4m सम है।
यदि r = 1 `\implies` a = 4m + 1, (4m + 1) 2 से विभाज्य नहीं है।
यदि r = 2 `\implies` a = 4m + 2 = 2(2m + 1), 2(2 m + 1) 2 से विभाज्य है `\implies` 2(2m + 1) सम है।
यदि r = 3 `\implies` a = 4m + 3, (4m + 3) 2 से विभाज्य नहीं है।
तो, किसी भी सकारात्मक पूर्णांक m के लिए, (4m + 1) और (4m + 3) विषम पूर्णांक हैं।
अब, a2 = (4m + 1)2 = 16m2 + 1 + 8m ...[∵ (a + b)2 = a2 + 2ab + b2]
= 4(4m2 + 2m) + 1
= 4q + 1
यह एक वर्ग है जो 4q + 1 के रूप का है, जहाँ q = (4m2 + 2m) एक पूर्णांक है।
और a2 = (4m + 3)2 = 16m2 + 9 + 24m ...[∵ (a + b)2 = a2 + 2ab + b2]
= 4(4m2 + 6m + 2) + 1
= 4q + 1
यह एक वर्ग है जो 4q + 1 के रूप का है, जहाँ q = (4m2 + 6m + 2) एक पूर्णांक है।
अतः किसी पूर्णांक q के लिए, किसी विषम पूर्णांक का वर्ग 4q + 1 के रूप का होता है।
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