Question

दर्शाइए कि यदि किसी चतुर्भुज के विकर्ण परस्पर समकोण पर समद्विभाजित करते हैं, तो वह समचतुर्भुज होता है।

Answer 1

मान लीजिए ABCD एक ऐसा चतुर्भुज है जिसके विकर्ण AC और BD एक दूसरे को O पर समकोण पर समद्विभाजित करते हैं।

∴ AOB और AOD में, हमारे पास है

AO = AO [सामान्य]

OB = OD [O, BD का मध्य-बिंदु है]

∠AOB = ∠AOD [प्रत्येक 90]

∴ ∆AQB ≅ ∆AOD [द्वारा, SAS सर्वांगसमता
∴ AB = AD [C.P.CT द्वारा] ……..(1)

इसी तरह, AB = BC .. .(2)

BC = CD …..(3)

CD = DA ……(4)

∴ (1), (2), (3) और (4) से, हमारे पास है
AB = BC = CD = AD

अत: चतुर्भुज ABCD एक समचतुर्भुज है। वैकल्पिक रूप से: ABCD को पहले एक समांतर चतुर्भुज सिद्ध किया जा सकता है, फिर आसन्न भुजाओं के एक जोड़े को बराबर सिद्ध करने पर समचतुर्भुज प्राप्त होगा।