Question

एक कण, जिसके स्थिति सदिश r के x, y, z अक्षों के अनुदिश अवयव क्रमशः x, y, z हैं और रेखीय संवेग सदिश P के अवयव p_x, p_y, p_z हैं, के कोणीय संवेग l के अक्षों के अनुदिश अवयव ज्ञात कीजिए। दर्शाइए कि यदि कण केवल x - y तल में ही गतिमान हो तो। कोणीय संवेग का केवल z – अवयव ही होता है।

Answer 1

प्रश्नानुसार,  कण का स्थिति सदिश 

`vec"r" = "x"  hat"i" + "y"  hat"j" + "z"  hat "k"`

तथा कण का रेखीय संवेग `vec"p" = "px"  hat"i" + "py"  hat"j" + "pz"  hat"k"`

तब मूलबिंदु के परितः कण का कोणीय संवेग

`vec"L" =  vec"r"  xx vec"p"`

= `|(hat"i", hat"j", hat"k"),("x", "y", "z"),("p"_"x", "p"_"y", "p"_"z")|`

⇒ `vec"L" = hat "i" ("yp"_"z" - "zp"_"y") + hat "j" ("zp"_"x" - "xp"_"z") + hat"k" ("xp"_"y" - "yp"_"x")`   ....(1)

यदि कोणीय संवेग `vec"L"` के x, y तथा z- अक्षों के अनुदिश अवयव l_x, l_y तथा l_z है तो

`vec"L" = "l"_"x"hat"i" + "l"_"y"hat"j" + "l"_"z" hat"k"`      ...(2)

समीकरण (1) व (2) के दाएं पक्षों में `hat"i", hat"j"` तथा `hat"k"` के गुणांकों की तुलना करने पर,

`"L"_"x" = ("yp"_"z" - "zp"_"y")`

`"L"_"y" = ("zp"_"x" - "xp"_"z")`

 तथा `"L"_"z" = ("xp"_"y" - "yp"_"x")`

यही कोणीय संवेग के अक्षों के अनुदिश अवयव है।

यदि कोई कण x - y समतल में गतिमान है तो उसके स्थिति सदिश `vec"r" ` में z - अक्ष के अनुदिश अवयव होगा (अर्थात z = 0 ⇒ `vec"r" = "x"  vec"i" + "y"  vec"j"`) तथा इसके रेखीय संवेग `vec"p"` का z- अक्ष के अनुदिश अवयव शून्य होगा।  (अर्थात `"p"_"z" = 0 ⇒ vec"p" = "p"_"x"  hat"i" + "p"_"y"  hat "j"`)

अब L_x, L_y  तथा L_z के समीकरणों में z = 0 तथा p_z = 0 रखने पर,

L_x = 0 तथा  L_y  = 0 जबकि `"L"_"z" = "xp"_"y" - "yp"_"x"`

अर्थात कोणीय संवेग में केवल z अवयव होगा।