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Question
एक निर्माणकर्ता नट और बोल्ट का निर्माण करता है। एक पैकेट नटों के निर्माण में मशीन A पर एक घंटा और मशीन B पर 3 घंटे काम करना पड़ता है, जबकि एक पैकेट बोल्ट के निर्माण में 3 घंटे मशीन A पर और 1 घंटा मशीन B पर काम करना पड़ता है। वह नटों से Rs 17.50 प्रति पैकेट और बोल्टों पर Rs 7.00 प्रति पैकेट लाभ कमाता है। यदि प्रतिदिन मशीनों का अधिकतम उपयोग 12 घंटे किया जाए तो प्रत्येक (नट और बोल्ट) के कितने पैकेट उत्पादित किए जाएँ ताकि अधिकतम लाभ कमाया जा सके।
Solution
माना कि निर्माणकर्ता नट के x पैकेट और बोल्टो के y पैकेट निर्माण करता है। स्पष्ट्तः x ≥ 0, y ≥ 0, दिए हुए आंकड़ों से एक सारणी तैयार करते है।
| नट | बोल्ट | आवश्यकता | |
| मशीन A (घंटे) | 1 | 3 | 12 |
| मशीन B (घंटे) | 3 | 1 | 12 |
नटो से Rs 17.50 प्रति पैकेट और बोल्टो पर Rs 7.00 प्रति पैकेट लाभ है।
व्यवरोध प्राप्त होते हैं
x + 3y ≤ 12
3x + y ≤ 12
कुल लाभ, Z = 17.5x + 7y
अतः समस्या का गणितीय सूत्रीकरण निम्नलिखित हैं:
निम्न व्यवरोधों के अंतर्गत
x + 3y ≤ 12
3x + y ≤ 12
x ≥ 0, y ≥ 0
Z = 17.5x + 7y का अधिकतमीकरण कीजिए,
कोनीय बिंदु A(4, 0), B(3, 3), O(0, 0) और C(0, 4),
| कोनीय बिंदु | Z = 20x + 10y | |
| A(4, 0) | 70 | |
| B(3, 3) | 73.5 | अधिकतम |
| O(0, 0) | 0 | |
| C(0, 4) | 28 |
Z का अधिकतम मान (3, 3) पर 73.50 है,
अतः हम कह सकते है की निर्माणकर्ता को अधिकतम लाभ के लिए प्रति दिन 3 पैकेट नट और 3 पैकेट बोल्ट का निर्माण करना चाहिए एवं अधिकतम लाभ है Rs 73.50 है।
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| प्रति क्विंटल परिवहन व्यय (रुपयों में) | ||
| को/से | A | B |
| D | 6 | 4 |
| E | 3 | 2 |
| F | 2.50 | 3 |
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| दूरियाँ (km में) | ||
| को/से | A | B |
| D | 7 | 3 |
| E | 6 | 4 |
| F | 3 | 2 |
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