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Question
रेशमा दो प्रकार के भोज्य P और Q को इस प्रकार मिलाना चाहती है कि मिश्रण में विटामिन अवयवों में 8 मात्रक विटामिन A तथा 11 मात्रक विटामिन B हों | भोज्य P की लागत Rs 60/kg और भोज्य Q की लागत Rs 80/kg है | भोज्य P में 3 मात्रक/kg विटामिन A और 5 मात्रक/kg विटामिन B है जबकि भोज्य Q में 4 मात्रक/kg विटामिन A और 2 मात्रक/kg विटामिन है | मिश्रण की न्यूनतम लागत ज्ञात कीजिए |
Solution
माना कि मिश्रण में भोज्य P का x kg और भोज्य Q का y kg है | स्पष्ट्तः x ≥ 0, y ≥ 0 हम दिए हुए आंकड़ों से एक सारणी तैयार करते है |
| स्रोत |
भोज्य पदार्थ P (x) |
भोज्य पदार्थ Q (y) |
आवश्यकता (मात्रकों में) |
|
विटामिन A (मात्रक/kg) विटामिन B (मात्रक/kg) |
3 5 |
4 2 |
8 11 |
| लागत (Rs/kg) | 60 | 80 |
चूँकि मिश्रण में विटामिन A की कम से कम 8 मात्रक विटामिन C के 11 मात्रक होने चाहिए, अतः निम्नलिखित व्यवरोध प्राप्त होते हैं
3x + 4y ≥ 8
5x + 2y ≥ 11
भोज्य P के x kg और भोज्य Q के y kg खरीदने का कुल मूल्य Z हैं जहाँ Z = 60x + 80y अतः समस्या का गणितीय सूत्रीकरण निम्नलिखित है:
निम्न व्ययरोधों के अंतर्गत
3x + 4y ≥ 8
5x + 2y ≥ 11
x ≥ 0, y ≥ 0
Z = 60x + 80y का न्यूनतमीकरण कीजिए
| कोनीय बिंदु | Z = 60x + 80y | |
| A`(8/3, 0)` | 160 | न्यूनतम |
| B`(2, 1/2)` | 160 | न्यूनतम |
| C`(0, 11/2)` | 440 |
यहाँ हमने देखा है की सुसंगत क्षेत्र अपरिबद्ध है, इसलिए 160 की Z न्यूनतम मान हो भी सकता है और नहीं भी | अब इसके लिए हमें निम्नलिखित असमीकरण का आलेख खींचना पड़ेगा
60x + 80y < 160
3x + 4y < 8
और अब जाँच करते है की क्या असमीकरण द्वारा निर्धारित परिणामी खुला अर्धतल, सुसंगत क्षेत्र के साथ कोई उभयनिष्ट बिंदु रखता है |
यहाँ ये पाया गया की सुसंगत क्षेत्र में असमीकरण 3x + 4y < 8 के साथ कोई उभयनिष्ट बिंदु नहीं है |
इसलिए मिश्रण की न्यूनतम लागत Rs 160 है |
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भंडारों से दुकानों को प्रति क्विंटल परिवहन व्यय निम्न सारणी के अनुसार है:
| प्रति क्विंटल परिवहन व्यय (रुपयों में) | ||
| को/से | A | B |
| D | 6 | 4 |
| E | 3 | 2 |
| F | 2.50 | 3 |
परिवहन व्यय के न्यूनतमीकरण के लिए आपूर्ति का परिवहन कैसे किया जाए? न्यूनतम परिवहन मूल्य क्या है?
एक फल उत्पादक अपने बाग में दो प्रकार के खादों P ब्रांड और Q ब्रांड का उपयोग कर सकता है | मिश्रण के प्रत्येक थैले में नाइट्रोजन, फास्फोरिक अम्ल, पोटाश और क्लोरीन की मात्रा (kg में) सारणी में दिया गया है | परिक्षण संकेत देते है कि बाग को कम से कम 250 kg फास्फोरिक अम्ल, कम से कम 270 kg पोटाश और क्लोरीन की अधिक से अधिक 310 kg की आवश्यकता है |
यदि उत्पादक बाग के लिए मिलाई जाने वाली नाइट्रोजन की मात्रा का न्यूनतमीकरण करना चाहता है तथा, प्रत्येक मिश्रण के कितने थैलों का उपयोग होना चाहिए? मिलाई जाने वाली नाइट्रोजन की निम्नतम मात्रा क्या है?
| kg प्रति थैला | ||
| ब्रांड P | ब्रांड Q | |
| नाइट्रोजन | 3 | 3.5 |
| फास्फोरिक अम्ल | 1 | 2 |
| पोटाश | 3 | 1.5 |
| क्लोरीन | 1.5 | 2 |
एक तेल कारखाने में दो डिपो A तथा B हैं, जिनकी क्षमताएँ क्रमशः 7000 लिटर और 4000 लिटर की हैं। कारखाने द्वारा तीन पेट्रोल पंपों D, E और F के लिए आपूर्ति करनी है, जिनकी आवश्यकताएँ क्रमशः 4500 लिटर, 3000 लिटर और 3500 लिटर की है। डिपो से पेट्रोल पंपों की दूरियाँ (km में) निम्नांकित सारणी के अनुसार है:
| दूरियाँ (km में) | ||
| को/से | A | B |
| D | 7 | 3 |
| E | 6 | 4 |
| F | 3 | 2 |
यह मानते हुए कि परिवहन व्यय प्रति 10 लिटर पर प्रति किलोमीटर 1 रुपया है, ज्ञात कीजिए कि कैसी आपूर्ति योजना अपनाई जाए, जिससे परिवहन व्यय का न्यूनतमीकरण हो जाए? न्यूनतम व्यय क्या है?
