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Question
एक प्रकार के केक को 200 g आटा तथा 25 g वसा (fat) की आवश्यकता होती है तथा दूसरी प्रकार के केक के लिए 100 g आटा तथा 50 g वसा की आवश्यकता होती है | केकों की अधिकतम संख्या बताओ जो 5 किलो आटे तथा 1 किलो वसा से बन सकते हैं, यह मान लिया गया है कि केकों को बनाने के लिए अन्य पदार्थों की कमी नहीं रहेगी |
Solution
माना कि पहले प्रकार के x केक और दूसरे प्रकार के y केक होते हैं | इसलिए, स्पष्ट्तः x ≥ 0, y ≥ 0 हम दिए हुए आंकड़ों से एक सारणी तैयार करते है |
| आटा (g) | वसा (g) | |
| पहले प्रकार के x केक | 200 | 25 |
| दूसरे प्रकार के y केक | 100 | 50 |
| आवश्यकता | 5000 | 1000 |
200x + 100y ≤ 5000
⇒ 2x + y ≤ 50
25x + 50y ≤ 1000
⇒ x + 2y ≤ 40
कुल केक जो की बन सकते है = Z = x + y
प्रश्न के अनुसार हमें Z का अधिकतमीकरण करना है,
निम्न व्यवरोधों के अंतर्गत,
2x + y ≤ 50
x + 2y ≤ 40
x, y ≥ 0
ऊपर दिए हुए व्यवरोधो से हम सुसंगत क्षेत्र ज्ञात करते है,
कोनीय बिंदु A(25, 0), B(20, 10), O(0, 0) और C(0, 20)
| कोनीय बिंदु | Z = x + y | |
| A(25, 0) | 25 | |
| B(20, 10) | 30 | अधिकतम |
| O(0, 0) | 0 | |
| C(0, 20) | 20 |
केको की अधिकतम संख्या 30 है, जो 5 किलो आटे तथा 1 किलो वसा से बन सकते है |
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एक फल उत्पादक अपने बाग में दो प्रकार के खादों P ब्रांड और Q ब्रांड का उपयोग क्र सकता है | मिश्रण के प्रत्येक थैले में नाइट्रोजन, फास्फोरिक अम्ल, पोटाश और क्लोरीन की मात्रा (kg में) सारणी में दिया गया है | परिक्षण संकेत देते है कि बाग को कम से कम 250 kg फास्फोरिक अम्ल, कम से कम 270 kg पोटाश और क्लोरीन की अधिक से अधिक 310 kg की आवश्यकता है |
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| खिलौने के प्रकार | मशीन | ||
| I | II | III | |
| A | 12 | 18 | 6 |
| B | 6 | 0 | 9 |
प्रत्येक मशीन अधिकतम 6 घंटे प्रतिदिन के लिए उपलब्ध है। यदि A प्रकार के खिलौने की बिक्री पर Rs 7.50 लाभ और B प्रकार के खिलौने पर Rs 5 का लाभ हो तो दर्शाइए कि अधिकतम लाभ कमाने के लिए प्रतिदिन A प्रकार के 15 खिलौने और B प्रकार 30 खिलौने निर्मित होने चाहिए।
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दो अन्न भंडारों A और B की भंडारण क्षमता क्रमशः 100 क्विंटल और 50 क्विंटल है। उन्हें तीन राशन की दुकानों D, E और F पर अन्न उपलब्ध कराना पड़ता है, जिनकी आवश्यकताएँ क्रमशः 60, 50 और 40 क्विंटल हैं।
भंडारों से दुकानों को प्रति क्विंटल परिवहन व्यय निम्न सारणी के अनुसार है:
| प्रति क्विंटल परिवहन व्यय (रुपयों में) | ||
| को/से | A | B |
| D | 6 | 4 |
| E | 3 | 2 |
| F | 2.50 | 3 |
परिवहन व्यय के न्यूनतमीकरण के लिए आपूर्ति का परिवहन कैसे किया जाए? न्यूनतम परिवहन मूल्य क्या है?
एक फल उत्पादक अपने बाग में दो प्रकार के खादों P ब्रांड और Q ब्रांड का उपयोग कर सकता है | मिश्रण के प्रत्येक थैले में नाइट्रोजन, फास्फोरिक अम्ल, पोटाश और क्लोरीन की मात्रा (kg में) सारणी में दिया गया है | परिक्षण संकेत देते है कि बाग को कम से कम 250 kg फास्फोरिक अम्ल, कम से कम 270 kg पोटाश और क्लोरीन की अधिक से अधिक 310 kg की आवश्यकता है |
यदि उत्पादक बाग के लिए मिलाई जाने वाली नाइट्रोजन की मात्रा का न्यूनतमीकरण करना चाहता है तथा, प्रत्येक मिश्रण के कितने थैलों का उपयोग होना चाहिए? मिलाई जाने वाली नाइट्रोजन की निम्नतम मात्रा क्या है?
| kg प्रति थैला | ||
| ब्रांड P | ब्रांड Q | |
| नाइट्रोजन | 3 | 3.5 |
| फास्फोरिक अम्ल | 1 | 2 |
| पोटाश | 3 | 1.5 |
| क्लोरीन | 1.5 | 2 |
एक तेल कारखाने में दो डिपो A तथा B हैं, जिनकी क्षमताएँ क्रमशः 7000 लिटर और 4000 लिटर की हैं। कारखाने द्वारा तीन पेट्रोल पंपों D, E और F के लिए आपूर्ति करनी है, जिनकी आवश्यकताएँ क्रमशः 4500 लिटर, 3000 लिटर और 3500 लिटर की है। डिपो से पेट्रोल पंपों की दूरियाँ (km में) निम्नांकित सारणी के अनुसार है:
| दूरियाँ (km में) | ||
| को/से | A | B |
| D | 7 | 3 |
| E | 6 | 4 |
| F | 3 | 2 |
यह मानते हुए कि परिवहन व्यय प्रति 10 लिटर पर प्रति किलोमीटर 1 रुपया है, ज्ञात कीजिए कि कैसी आपूर्ति योजना अपनाई जाए, जिससे परिवहन व्यय का न्यूनतमीकरण हो जाए? न्यूनतम व्यय क्या है?
