Question

If y = log `[tan(pi/4+x/2)]`Prove that

I. tan h`y/2 = tan  pi/2`
II. cos hy cos x = 1

Answer 1

1] `sin hy/2=(e^(y/2)-e^(-y/2))/2`

`cos h  y/2=(e^(y/2)+e^((-y)/2))/2`

`tan h y/2=(sin hy/2)/(cos h y/2)`

`=((e^(y/2)-e^((-y)/2))/2)/((e^(y/2)-e^(-y/2))/2)`

`= (e^y-1)/(e^y+1)`

But `e^U = (1+tan  x/2)/(1-tan  x/2)`

`therefore tan hy/2=( (1+tan  x/2)/(1-tan  x/2)-1)/((1+tan  x/2)/(1-tan  x/2)+1)`

`=(1+tan  x/2-1+tan  x/2)/(1+tan  x/2+1-tan  x/2)`

`=tan  x/2`

`therefore tan hy/2=tan  x/2`

2] `y=log[tan (pi/4+x/2)]`

`e^y=tan(pi/4+x/2)`

`=(tan  pi/4+tan  x/2)/(1-tan  pi/4tan  pi/2)`

`e^y=(1+tan  x/2)/(1-tan  x/2)`

`e^(-y)=(1-tan  x/2)/(1+tan  x/2)`

cos hy = `(e^y+e^(-y))/2`

`=((1+tan  x/2)/(1-tan  x/2)+(1-tan  x/2)/(1+tan  x/2))/2`

`= ((1+tan  x/2)^2+(1-tan  x/2)^2)/(2(1-tan^2  x/2))`

`=(1+2tan  x/2+tan^2  x/2+1+tan^2  x/2-2tan  x/2)/(2(1-tan^2  x/2))`

`= (1+tan^2  x/2)/(1-tan^2  x/2)`

`therefore cos hy=1/(cosx)`

`therefore cos hy cosx=1/(cosx).cosx`

cos hy cos x = 1
Hence proved