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Question
`overset(^)("i")` व `overset(^)("j")` क्रमशः x-व y-अक्षों के अनुदिश एकांक सदिश हैं। सदिशों `overset(^)("i") + overset(^)("j")` तथा `overset(^)("i") - overset(^)("j")` का परिमाण तथा दिशा क्या होगा? सदिश `"A" = 2overset(^)("i") + 3overset(^)("j")` के `overset(^)("i") + overset(^)("j")` व `overset(^)("i") - overset(^)("j")` की दिशाओं के अनुदिश घटक निकालिए (आप ग्राफी विधि का उपयोग कर सकते हैं)।
Solution
`hat"i"` तथा `hat"j"` परस्पर लंब एकांक सदिश हैं; अर्थात् इनके बीच का कोण θ = 90° है।
सदिशों `vec"a"` व `vec"b"` के परिणामी `vec"R" = vec"a" + vec"b"` के परिमाण के सूत्र
`"R" = sqrt("a"^2 + "b"^2 + 2 "ab" "cos" theta)` से,
`hat"i" + hat"j"` का परिमाण,
`|hat"i" + hat"j"| = sqrt((1)^2 + (1)^2 + 2 xx 1 xx 1 xx "cos" 90^circ)`
= `sqrt(1 + 1 + 0)` = `sqrt2` इकाई।
जबकि इसकी दिशा द्वारा, x - अक्ष की धन दिशा से बना कोण
`theta = "tan"^-1((hat"j" "का गुणांक")/(hat"i" "का गुणांक")) = "tan"^-1(1/1) = +45^circ`
इसी प्रकार सदिश `(hat"i" - hat "j")` का परिमाण
`|hat"i" - hat "j"| = sqrt((1)^2 + (1)^2 + 2 xx 1 xx 1 xx "cos" 90^circ)`
= `sqrt(1 + 1 + 0)` = `sqrt2` इकाई।
जबकि इसकी दिशा द्वारा, x - अक्ष की धन दिशा से बना कोण
`theta = "tan"^-1((-1)/1) = "tan"^-1(-1) = -"tan"^-1(1) = -45^circ`
पुनः `vec"A" = 2 hat "i" + 3 hat "j"` तथा माना `vec"B" = hat "i" + hat "j"`
सूत्र `vec"A" . vec"B" = "AB" "cos" theta = ("A" "cos" theta) "B"` से
`"A" "cos" theta = (vec"A".vec"B")/"B"`
सदिश `vec"A"` का सदिश `(hat "i" + hat "j")` की दिशा में घटक
`("A" "cos" theta) = (vec"A" . vec "B")/"B" = ((2 hat"i" + 3 hat"j"). (hat"i" + hat"j"))/sqrt(1^2 + 1^2)` `[∵ "B" = |vec"B"|]`
= `(2 hat"i".hat"i" + 2 hat"i" . hat"j" + 3 hat"j". hat"i" + 3 hat"j". hat"j")/sqrt2` `(vec"A". vec"B" = "AB" "cos" theta)`
= `(2+3)/sqrt2 = 5/sqrt2` इकाई। [∵ `hat"i" . hat"i" = hat"j". hat"j" = 1 "तथा" hat"i" . hat"j" = hat"j". hat"i" = 0 `]
इसी प्रकार सदिश `vec"A"` का सदिश `hat "i" - hat "j"` की दिशा में घटक
= `((2 hat"i" + 3 hat"j").(hat"i" - hat"j"))/sqrt(1^2 + (-1)^2) = 1/sqrt2` इकाई।
