Question

जर a व b या नैसर्गिक संख्या असतील आणि a > b जर (a² + b²), (a² - b²) आणि 2ab या त्रिकोणाच्या बाजू असतील, तर सिद्‌ध करा, की तो काटकोन त्रिकोण आहे. a व b ला योग्य किमती देऊन दोन त्रिकुटे मिळवा.

Answer 1

(a² + b²)² = a⁴ + 2a²b² + b⁴  ...(i)

(a² – b²)² = a⁴ - 2a²b² + b⁴  ...(ii)

(2ab)² = 4a²b²  ...(iii)

आता, (a⁴ + 2a²b² + b⁴) = (a⁴ - 2a²b² + b⁴) + 4a²b²

∴ (a² + b²)² = (a² - b²)² + (2ab)²  ...[(i), (ii) व (iii) वरून]

∴ [(a² + b²), (a² - b²), (2ab)] हे पायथागोरसचे त्रिकूट आहे.

∴ (a² + b²), (a² - b²) व (2ab) बाजू असलेला त्रिकोण हा काटकोन त्रिकोण आहे.

a. समजा, a = 2, b = 1

a² + b² = 2² + 1² = 4 + 1 = 5

a² - b² = 2² - 1² = 4 - 1 = 3

2ab = 2 × 2 × 1 = 4

∴ (5, 3, 4) हे पायथागोरसचे त्रिकट आहे.

b. समजा, a = 4, b = 3

a² + b² = 4² + 3² = 16 + 9 = 25

a² – b² = 4² – 3² = 16 – 9 = 7

2ab = 2 × 4 × 3 = 24

∴ (25, 7, 24) हे पायथागोरसचे त्रिकट आहे.