Question

मान लीजिए दो पाँसों को फेंकने पर प्राप्त संख्याओं के योग को X से व्यक्त किया गया है। X का प्रसारण और मानक विचलन ज्ञात कीजिए।

Answer 1

दो पाँसों की फेंक में कुल घटनायें = 6 × 6 = 36

जिन्हें {x_i; y_i} के रूप में लिख सकते हैं,

जहाँ x_i = 1, 2, 3, 4, 5, 6, y_i = 1, 2, 3, 4, 5, 6

यादृच्छिक चर X के मान अर्थात् पाँसों पर प्राप्त संख्याओं का योग 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 या 12 हो सकता है।

अब P(X = 2) = P{(1, 1)} = `1/36`

P(X = 3) = P{(1, 2), (2, 1)} = `2/36`

P(X = 4) = P{(1, 3), (2, 2), (3, 1)} = `3/36`

P(X = 5) = P{(1, 4), (2, 3), (3, 2), (4, 1)} = `4/36`

P(X = 6) = P{(1, 5), (2, 4), (3, 3), (4, 2), (5, 1)} = `5/36`

P(X = 7) = P{(1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2), (6, 1)} = `6/36`

P(X = 8) = P{(2, 6), (3, 5), (4, 4), (5, 3), (6, 2)} = `5/36`

P(X = 9) = P{(3, 6), (4, 5), (5, 4) (6, 3)} = `4/36`

P(X = 10) = P{(4, 6), (5, 5), (6, 4)} = `3/36`

P(X = 11) = P{(5, 6), (6, 5)} = `2/36`

P(X = 12) = P{(6, 6)} = `1/36`

X का प्रक्रियता बंटन हैं

X या xi	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
P(X) या pi	`1/36`	`2/36`	`3/36`	`4/36`	`5/36`	`6/36`	`5/36`	`4/36`	`3/36`	`2/36`	`1/36`

इसलिए माध्य µ = E(X) = Σp_ix_i 

= `2. 1/36 + 3. 2/36 + 4. 3/36 + 5. 4/36 + 6. 5/36 + 7. 6/36 + 8. 5/36 + 9. 4/36 + 10. 3/36 + 11. 2/36 + 12. 1/36`

= `(2 + 6 + 12 + 20 + 30 + 42 +  40 + 36 + 30 + 22 + 12)/36`

= `252/36`

= 7

 प्रसरण σ² = Σ(x_i)²p_i − µ²

= `[4. 1/36 + 9. 2/36 + 16. 3/36 + 25. 4/36 + 36. 5/36 + 49. 6/36 + 64. 5/36 + 81. 4/36 + 100. 3/36 + 121. 2/36 + 144. 1/36] - (7)^2`

= `1/36 [4 + 18 + 48 + 100 + 180 + 294 + 320 + 324 + 300 + 242 + 144] - 49`

= `1/36 xx 1974 - 49`

= 54.833 − 49

= 5.833

∴ मानक विचलन = `sqrt ("प्रसरण"(σ^2))`

= `sqrt(5.833)`

= 2.415