NCERT solutions for Mathematics - Part 1 and 2 [Hindi] Class 12 chapter 13 - प्रायिकता [Latest edition]

यदि E और F इस प्रकार की घटनाएँ हैं कि P(E) = 0.6, P(F) = 0.3 और P(E ∩ F) = 0.2, तो P(E|F) और P(F|E) ज्ञात कीजिए।

P(A|B) ज्ञात कीजिए, यदि P(B) = 0.5 और P(A ∩ B) = 0.32

यदि P(A) = 0.8, P(B) = 0.5 और P(B|A) = 0.4 ज्ञात कीजिए।

1. P(A ∩ B)
2. P(A|B)
3. P(A ∪ B)

P(A ∪ B) ज्ञात कीजिए यदि 2P(A) = P(B) = `5/13` और P(A|B) = `2/5`

यदि P(A) = `6/11`, P(B) = `5/11` और P(A ∪ B) = `7/11` तो ज्ञात कीजिए।

1. P(A ∩ B)
2. P(A|B)
3. P(B|A)

निम्नलिखित प्रश्न में P(E|F) ज्ञात कीजिए।

एक सिक्के को तीन बार उछाला गया है:

E: तीसरी उछाल पर चित्त, F: पहली दोनों उछालों पर चित्त

निम्नलिखित प्रश्न में P(E|F) ज्ञात कीजिए।

एक सिक्के को तीन बार उछाला गया है:

E : न्यूनतम दो चित्त, F : अधिकतम एक चित्त

निम्नलिखित प्रश्न में P(E|F) ज्ञात कीजिए।

एक सिक्के को तीन बार उछाला गया है:

E: अधिकतम दो पट F: न्यूनतम दो पट

निम्नलिखित प्रश्न में P(E|F) ज्ञात कीजिए।

दो सिक्कों को एक बार उछाला गया है:

E: एक सिक्के पर पट प्रकट होता है, F: एक सिक्के पर चित प्रकट होता है

निम्नलिखित प्रश्न में P(E|F) ज्ञात कीजिए।

दो सिक्कों को एक बार उछाला गया है:

E : कोई पट प्रकट नहीं होता है, F : कोई चित प्रकट नहीं होता है।

निम्नलिखित प्रश्न में P(E|F) ज्ञात कीजिए।

एक पासे को तीन बार उछाला गया है:

E: तीसरी उछाल पर संख्या 4 प्रकट होना

F: पहली दो उछालों पर क्रमशः 6 तथा 5 प्रकट होना।

निम्नलिखित प्रश्न में P(E|F) ज्ञात कीजिए।

एक पारिवारिक चित्र में माता, पिता व पुत्र यादृच्छया खड़े हैं:

E : पुत्र एक सिरे पर खड़ा है, F : पिता मध्य में खड़े हैं

एक काले और एक लाल पासे को उछाला गया है:

पासों पर प्राप्त संख्याओं का योग 9 होने की सप्रतिबंध प्रायिकता ज्ञात कीजिए यदि यह ज्ञात हो कि काले पासे पर 5 प्रकट हुआ है।

एक काले और एक लाल पासे को उछाला गया है:

पासों पर प्राप्त संख्याओं का योग 8 होने की सप्रतिबंध प्रायिकता ज्ञात कीजिए यदि यह ज्ञात हो कि लाल पासे पर 4 से कम है।

एक न्याय्य पासे को उछाला गया है। घटनाओं E = {1, 3, 5}, F = {2, 3}, और G = {2, 3, 4, 5} के लिए निम्नलिखित ज्ञात कीजिए:

P(E|F) और P(F|E)

एक न्याय्य पासे को उछाला गया है। घटनाओं E = {1, 3, 5}, F = {2, 3}, और G = {2, 3, 4, 5} के लिए निम्नलिखित ज्ञात कीजिए:

P(E|G) और P(G|E)

एक न्याय्य पासे को उछाला गया है। घटनाओं E = {1, 3, 5}, F = {2, 3}, और G = {2, 3, 4, 5} के लिए निम्नलिखित ज्ञात कीजिए:

P(E ∪ F|G) और P(E ∩ F|G)

मान लें कि जन्म लेने वाले बच्चे को लड़का या लड़की होना समसंभाव्य है। यदि किसी परिवार में दो बच्चे हैं, तो दोनों बच्चों के लड़की होने की सप्रतिबंध प्रायिकता क्या है? यदि यह दिया गया है कि

1. सबसे छोटा बच्चा लड़की है।
2. न्यूनतम एक बच्चा लड़की है।

एक प्रशिक्षक के पास 300 सत्य/असत्य प्रकार के आसान प्रश्न 200 सत्य/असत्य प्रकार के कठिन प्रश्न, 500 बहु-विकल्पीय प्रकार के आसान प्रश्न और 400 बहु-विकल्पीय प्रकार के कठिन प्रश्नों का संग्रह है। यदि प्रश्नों के संग्रह से एक प्रश्न यादृच्छया चुना जाता है, तो एक आसान प्रश्न की बहु-विकल्पीय होने की प्रायिकता क्या होगी?

यह दिया गया है कि दो पासों को फेंकने पर प्राप्त संख्याएँ भिन्न-भिन्न हैं। दोनों संख्याओं का योग 4 होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।

एक पासे को फेंकने के परीक्षण पर विचार कीजिए। यदि पासे पर प्रकट संख्या 3 का गुणज है तो पासे को पुनः फेंकें और यदि कोई अन्य संख्या प्रकट हो तो एक सिक्के को उछालें। घटना 'न्यूनतम एक पासे पर संख्या 3 प्रकट होना’ दिया गया है तो घटना ‘सिक्के पर पट प्रकट होने' की सप्रतिबंध प्रायिकता ज्ञात कीजिए।

यदि P(A) =`1/2`, P(B) = 0 तब P(A|B) है:

यदि  A और B दो घटनाएँ इस प्रकार हैं कि P(A|B) = P(B|A) ≠ 0 तब ______. 

यदि P(A) = `3/5`, P(B) = `1/5` और A तथा B स्वतंत्र घटनाएँ हैं तो P(A ∩ B) ज्ञात कीजिए।

52 पत्तों की एक गड्डी में से यादृच्छया बिना प्रतिस्थापित किए दो पत्ते निकाले गए। दोनों पत्तों के काले रंग का होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।

संतरों के एक डिब्बे का निरीक्षण उसमें से तीन संतरों को यादृच्छया बिना प्रतिस्थापित किए हुए निकाल कर किया जाता है। यदि तीनों निकाले गए संतरें अच्छे हों तो डिब्बे को बिक्री के लिए स्वीकृत किया जाता है अन्यथा अस्वीकृत कर देते हैं। एक डिब्बा जिसमें 15 संतरें हैं जिनमें से 12 अच्छे व ३ खराब संतरें हैं, के बिक्री के लिए स्वीकृत होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।

एक न्याय्य सिक्का और एक अभिनत पासे को उछाला गया। मान लें A घटना ‘सिक्के पर चित प्रकट होता है' और B घटना 'पासे पर संख्या 3 प्रकट होती है’ को निरूपित करते हैं। निरीक्षण कीजिए कि घटनाएँ A और B स्वतंत्र हैं या नहीं?

एक पासे पर 1, 2, 3 लाल रंग से और 4, 5, 6 हरे रंग से लिखे गए हैं। इस पासे को उछाला गया। मान लें A घटना 'संख्या सम है’ और B घटना ‘संख्या लाल रंग से लिखी गई है’, को निरूपित करते हैं। क्या A और B स्वतंत्र हैं?

मान लें E तथा F दो घटनाएँ इस प्रकार हैं कि P(E) = `3/5`, P(F) = `3/10` और P(E ∩ F) =`1/5` तब क्या E तथा F स्वतंत्र हैं?

A और B ऐसी घटनाएँ दी गई हैं जहाँ P(A) = `1/2`, P(A ∪ B) = `3/5` तथा P(B) = p, तो p का मान ज्ञात कीजिए यदि

1. घटनाएँ परस्पर अपवर्जी हैं।
2. घटनाएँ स्वतंत्र हैं।

मान लें A और B स्वतंत्र घटनाएँ है तथा P(A) = 0.3 और P(B) = 0.4 तब

1. P (A ∩ B)
2. P(A ∪ B)
3. P(A | B)
4. P(B | A) ज्ञात कीजिए।

दी गई घटनाएँ A और B ऐसी हैं, जहाँ P(A) =`1/4`, P(B) = `1/2` और P(A ∩ B) = `1/8` तब P(A - नहीं और B - नहीं) ज्ञात कीजिए।

मान लें A तथा B स्वतंत्र घटनाएँ हैं और P(A) = `1/2` तथा P(B) = `7/12` और P(A - नहीं और B - नहीं) = `1/4`, क्या A और B स्वतंत्र घटनाएँ हैं?

A और B स्वतंत्र घटनाएँ दी गई हैं जहाँ P(A) = 0.3, P(B) = 0.6 तो

1. P(A और B)
2. P(A और B - नहीं)
3. P(A या B)
4. P(A और B में कोई भी नहीं) का मान ज्ञात कीजिए।

एक पासे को तीन बार उछाला जाता है कम से कम एक बार विषम संख्या प्राप्त होने की प्राकियता ज्ञात कीजिए।

दो गेंदें एक बॉक्स से बिना प्रतिस्थापित किए निकाली जाती है। बॉक्स में 10 काली और 8 लाल गेंदें हैं तो प्रायिकता ज्ञात कीजिए:

1. दोनों गेंदें लाल हों
2. प्रथम काली एवं दूसरी लाल हो
3. एक काली तथा दूसरी लाल हो।

एक विशेष समस्या को A और B द्वारा स्वतंत्र रूप से हल करने की प्रायिकताएँ क्रमशः `1/2` और `1/3` हैं। यदि दोनों, स्वतंत्र रूप से, समस्या हल करने का प्रयास करते हैं, तो प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि

1. समस्या हल हो जाता है।
2. उनमें से तथ्यतः कोई एक समस्या हल कर लेता है।

ताश के 52 पतों की एक सुमिश्रित गड्डी से एक पत्ता यादृच्छ्या निकला जाता है। निम्नलिखित में से किन दशाओं में घटनाएँ E और F स्वतंत्र है?

E : 'निकला गया पत्ता हुकुम का है'

F : 'निकला गया पत्ता इक्का है'

ताश के 52 पतों की एक सुमिश्रित गड्डी से एक पत्ता यादृच्छ्या निकला जाता है। निम्नलिखित में से किन दशाओं में घटनाएँ E और F स्वतंत्र है?

E : 'निकला गया पत्ता काले रंग का है'

F : 'निकला गया पत्ता एक बादशाह है'

ताश के 52 पतों की एक सुमिश्रित गड्डी से एक पत्ता यादृच्छ्या निकला जाता है। निम्नलिखित में से किन दशाओं में घटनाएँ E और F स्वतंत्र है?

E : 'निकला गया पत्ता एक बादशाह या एक बेगम है'

F : 'निकला गया पत्ता एक बेगम या एक गुलाम है'

एक छात्रावास में 60% विद्यार्थी हिंदी का, 40% अंग्रेजी का और 20% दोनों अखबार पढ़ते हैं। एक छात्रा को यादृच्छ्या चुना जाता है।

प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि वह न तो हिंदी और न ही अंग्रेजी का अखबार पढ़ती है।

एक छात्रावास में 60% विद्यार्थी हिंदी का, 40% अंग्रेजी का और 20% दोनों अखबार पढ़ते हैं। एक छात्रा को यादृच्छ्या चुना जाता है।

यदि वह हिंदी का अखबार पढ़ती है तो उसके अंग्रेजी का अखबार भी पढ़ने वाली होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।

एक छात्रावास में 60% विद्यार्थी हिंदी का, 40% अंग्रेजी का और 20% दोनों अखबार पढ़ते हैं। एक छात्रा को यादृच्छ्या चुना जाता है।

यदि वह अंग्रेजी का अखबार पढ़ती है तो उसके हिंदी का अखबार भी पढ़ने वाली होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।

यदि पासों का एक जोड़ा उछला जाता है तो प्रत्येक पासे पर सम अभाज्य संख्या प्राप्त करने की प्रक्रियता निम्नलिखित में से क्या है?

दो घटनाओं A और B को परस्पर स्वतंत्र कहते है, यदि ______.

एक कलश में 5 लाल और 5 काली गेंदें हैं। यादृच्छया एक गेंद निकाली जाती है, इसका रंग नोट करने के बाद पुनः कलश में रख दी जाती है। पुनः निकाले गए रंग की 2 अतिरिक्त गेंदें कलश में रख दी जाती है तथा कलश में से एक गेंद निकाली जाती है। दूसरी गेंदे की लाल होने की प्रायिकता क्या है?

एक थैले में 4 लाल और 4 काली गेंदें हैं और एक अन्य थैले में 2 लाल और 6 काली गेंदें हैं। दोनों थैलों में से एक को यादृच्छया चुना जाता है और उसमें एक गेंद निकाली जाती है जो कि लाल है। इस बात की क्या प्रायिकता है कि गेंद पहले थैले से निकाली गई है?

यह ज्ञात है कि एक महाविद्यालय के छात्रों में से 60% छात्रावास में रहते हैं और 40% छात्रावास में नहीं रहते हैं। पूर्ववर्ती वर्ष के परिणाम सूचित करते हैं कि छात्रावास में रहने वाले छात्रों में से 30% और छात्रावास में न रहने वाले छात्रों में से 20% छात्रों ने A-ग्रेड लिया। वर्ष के अंत में महाविद्यालय के एक छात्र को यादृच्छाया चुना गया और यह पाया गया कि उसे A-ग्रेड मिला है। इस बात की क्या प्रक्रियता है कि वह छात्र छात्रवास में रहने वाला है?

एक बहुविकल्पीय प्रश्न का उतर देने में एक विद्यार्थी या तो प्रश्न का उत्तर जानता है या वह अनुमान लगाता है। मान लें कि उसके उत्तर जानने की प्रायिकता `3/4` और अनुमान लगाने की प्रायिकता `1/4` है। मान लें कि छात्र के प्रश्न के उत्तर का अनुमान लगाने पर सही उत्तर देने की प्रायिकता `1/4` है तो इस बात की क्या प्रायिकता है की कोई छात्र प्रश्न का उत्तर जानता है यदि यह ज्ञात है कि उसने सही उत्तर दिया है?

किसी विशेष रोग के सही निदान के लिए रक्त की जाँच 99% असरदार है, जब वास्तव में रोगी उस रोग से ग्रस्त होता है। किंतु 0.5% बार किसी स्वस्थ व्यक्ति की रक्त जाँच करने पर निदान गलत रिपोर्ट देता है यानी व्यक्ति को रोग से ग्रस्त बतलाता है। यदि किसी जनसमुदाय में 0.1% लोग उस रोग से ग्रस्त हैं तो क्या प्रायिकता है कि कोई यादृच्छया चुना गया व्यक्ति उस रोग से ग्रस्त होगा यदि उसके रक्त की जाँच में यह बताया जाता है कि उसे यह रोग है?

तीन सिक्के दिए गए हैं। एक सिक्के के दोनों ओर चित ही है। दूसरा सिक्का अभिनत है जिसमें चित 75% बार प्रकट होता है और तीसरा अनभिनत सिक्का है। तीनों में से एक सिक्के को यादृच्छया चुना गया और उसे उछाला गया है। यदि सिक्के पर चित प्रकट हो, तो क्या प्रायिकता है कि वह दोनों चित वाला सिक्का है?

एक बीमा कंपनी 2000 स्कूटर चालकों, 4000 कार चालकों और 6000 ट्रक चालकों का बीमा करती है। दुर्घटनाओं की प्रायिकताएँ क्रमशः 0.01, 0.03 और 0.15 है। बीमाकृत व्यक्तियों (चालकों) में से एक दुर्घटनाग्रस्त हो जाता है। उस व्यक्ति के स्कूटर चालक होने की प्रायिकता क्या है?

एक कारखाने में A और B दो मशीने लगी हैं। पूर्व विवरण से पता चलता है कि कुल उत्पादन का 60% मशीन A और 40% मशीन B द्वारा किया जाता है। इसके अतिरिक्त मशीन A का 2% और मशीन B का 1% उत्पादन खराब है। यदि कुल उत्पादन का एक ढेर बना लिया जाता है और उसे ढेर से यादृच्छया निकाली गई वस्तु खराब हो, तो इस वस्तु के 'मशीन A' द्वारा बने होने की प्रायिकता क्या होगी?

दो दल एक निगम के निदेशक मंडल में स्थान पाने की प्रतिस्पर्धा में हैं। पहले तथा दूसरे दल के जीतने की प्रक्रियताएँ क्रमश: 0.6 तथा 0.4 हैं। इसके अतिरिक्त यदि पहला दल जीतता है तो एक नए उत्पाद के प्रारंभ होने की प्रक्रियता 0.7 है और यदि दूसरा दल जीतता है तो इस बात की संगत प्रक्रियता 0.3 है। इसकी प्रक्रियता ज्ञात कीजिए कि नया उत्पादन दूसरे दाल द्वारा प्रारंभ किया गया था।

मान लीजिए कि कोई लड़की एक पाँसा उछालती है। यदि उसे 5 या 6 की संख्या प्राप्त होती है तो वह एक सिक्के को तीन बार उछालती है और ‘चितों' की संख्या नोट करती है। यदि उसे 1, 2, 3 या 4 की संख्या प्राप्त होती है तो वह एक सिक्के को एक बार उछालती है और यह नोट करती है कि उस पर 'चित' या 'पट' प्राप्त हुआ। यदि उसे ठीक एक चित प्राप्त होता है, तो उसके द्वारा उछाले गए पाँसे पर 1, 2, 3 या 4 प्राप्त होने की प्रायिकता क्या है?

एक व्यावसायिक निर्माता के पास A, B तथा C मशीन ऑपरेटर हैं। प्रथम ऑपरेटर A,1% खराब सामग्री उत्पादित करता हैं तथा ऑपरेटर B और C क्रमशः 5% और 7% खराब सामग्री उत्पादित करता है। कार्य पर A कुल समय का 50% लगाता है, B कुल समय का 30% तथा C कुल समय का 20% लगाता है। यदि एक खराब सामग्री उत्पादित है तो इसे A द्वारा उत्पादित किए जाने की प्रायिकता क्या है?

52 ताशों की गड्डी से एक पत्ता खो जाता है। शेष पत्तों से दो पत्ते निकाले जाते हैं जो ईंट के पत्ते हैं। खो गये पत्ते की ईंट होने की प्रायिकता क्या है?

A द्वारा सत्य बोलने की प्रक्रियता `4/5` है। एक सिक्का उछाला जाता है तथा A बताता है कि चित प्रदर्शित हुआ। वास्तविक रूप में चित प्रकट होने की प्रक्रियता है:

यदि A और B ऐसी घटनाएँ है कि A ⊂ B तथा P(B) ≠ 0 तो निम्न में से कौन ठीक है:

A और B इस प्रकार घटनाएँ हैं कि P(A) ≠ 0. P(B|A) ज्ञात कीजिए यदि A, समुच्चय B का उपसमुच्चय है।

A और B इस प्रकार घटनाएँ हैं कि P(A) ≠ 0. P(B|A) ज्ञात कीजिए यदि A ∩ B = Φ

एक दंपति के दो बच्चे हैं, दोनों बच्चों के लड़का होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए यदि यह ज्ञात हैं कि दोनों बच्चों में से कम से कम एक बच्चा लड़का है।

एक दंपति के दो बच्चे हैं, दोनों बच्चों के लड़की होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए यदि यह ज्ञात है कि बड़ा बच्चा लड़की है।

कल्पना लीजिए कि 5% पुरुषों और 0.25% महिलाओं के बाल सफ़ेद हैं। एक सफ़ेद बालों वाले व्यक्ति को यादृच्छिक चुना गया है। इस व्यक्ति के पुरुष होने की प्रायिकता क्या है? यह मान लें कि पुरुषों और महिलाओं की संख्या समान है।

मान लीजिए कि 90% लोग दाहिने हाथ से काम करने वाले हैं। इसकी प्रायिकता क्या है कि 10 लोगों में से यादृच्छया चुने गए अधिक से अधिक 6 लोग दाहिने हाथ से काम करने वाले हों?

यदि एक लीप वर्ष को यादृच्छया चुना गया हो तो इसकी क्या प्रायिकता है कि उस वर्ष में 53 मंगलवार होंगे।

मान लीजिए हमारे पास A, B, C और D बक्से हैं जिसमें रखी संगमरमर की लाल, सफेद और काली टुकड़ियों का विवरण निम्न तरीके से है यादृच्छया एक बॉक्स चुना जाता है तथा इससे एक टुकड़ा निकाला जाता है। यदि टुकड़ा लाल हो तो इसे बॉक्स A, बॉक्स B, बॉक्स C से निकाले जाने की क्या प्रायिकता है?

मान लीजिए किसी रोगी को दिल का दौरा पड़ने का संयोग 40% है। यह मान लिया जाता है कि ध्यान ओर योग विधि दिल का दौरा पड़ने के खतरे को 30% कम कर देता है और दवा द्वारा खतरे को 25% कम किया जा सकता है। किसी भी समय रोगी इन दोनों में से किसी एक विकल्प का चयन करता है। यह दिया गया है कि उपरोक्त विकल्पों से किसी एक का चुनाव करने वाले रोगियों से यादृच्छया चुना गया रोगी दिल के दौरे से ग्रसित हो जाता है। रोगी द्वारा ध्यान और योग विधि का उपयोग किए जाने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।

यदि 2 कोटि के एक सारणिक के सभी अवयव शून्य या एक हो तो सारणिक का धनात्मक मान होने की क्या प्रायिकता हैं। (मान लीजिए की सारणिक के प्रत्येक अवयव स्वतंत्र रूप से चुने जा सकते हैं तथा प्रत्येक की चुने जाने की प्रायिकता `1/2` है।)

एक इलेक्ट्रॉनिक एसेंबली के दो सहायक निकाय A और B हैं। पूर्ववर्ती निरीक्षण द्वारा निम्न प्रायिकताएँ ज्ञात है:

P(A के असफल होने की) = 0.2

P(B के अकेले असफल होने की) = 0.15

P(A और B के असफल होने की) = 0.15

तो, निम्न प्रायिकताएँ ज्ञात कीजिए:

1. P(A असफल/B असफल हो चुकी हो)
2. P(A के अकेले असफल होने की)

थैला I में 3 लाल तथा 4 काली गेंदें है तथा थैला II में 4 लाल और 5 काली गेंदें हैं। एक गेंद को थैला I से थैला II में स्थानांतरित किया जाता है और तब एक गेंद थैला II से निकाली जाती है। निकाली गई गेंद लाल रंग की है। स्थानांतरित गेंद की काली होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।

यदि A और B दो ऐसी घटनाएँ हैं कि P(A) ≠ 0 और `P(B|A)` = 1, तब ______.

यदि `P(A|B) > P(A)`, तब निम्न में से कौन सही है।

यदि A और B ऐसी दो घटनाएँ हैं कि P(A) + P(B) – P(A और B) = P(A), तब ______.