NCERT solutions for Mathematics - Part 1 and 2 [Hindi] Class 12 chapter 1 - संबंध एवं फलन [Latest edition]

निर्धारित कीजिए कि क्या निम्नलिखित संबंध स्वतुल्य, सममित और संक्रामक हैं:

समुच्चय A = {1, 2, 3, ..., 13, 14} में संबंध R, इस प्रकार परिभाषित है कि

R = {(x, y) : 3x - y = 0}

निर्धारित कीजिए कि क्या निम्नलिखित संबंध स्वतुल्य, सममित और संक्रामक हैं:

प्राकृत संख्याओं के समुच्चय N में R = {(x, y) : y = x + 5 तथा x < 4} द्वारा परिभाषित संबंध R.

निर्धारित कीजिए कि क्या निम्नलिखित संबंध स्वतुल्य, सममित और संक्रामक हैं:

समुच्चय A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} में R = {x, y) : y भाज्य है x से) द्वारा परिभाषित संबंध R है।

निर्धारित कीजिए कि क्या निम्नलिखित संबंध स्वतुल्य, सममित और संक्रामक हैं:

समस्त पूर्णांकों के समुच्चय Z में R = {(x, y) : x - y एक पूर्णांक है} द्वारा परिभाषित संबंध R.

निर्धारित कीजिए कि क्या निम्नलिखित संबंध स्वतुल्य, सममित और संक्रामक हैं:

किसी विशेष समय पर किसी नगर के निवासियों के समुच्चय में निम्नलिखित संबंध R.

R = {(x, y) : x तथा y एक ही स्थान पर कार्य करते हैं}

निर्धारित कीजिए कि क्या निम्नलिखित संबंध स्वतुल्य, सममित और संक्रामक हैं:

किसी विशेष समय पर किसी नगर के निवासियों के समुच्चय में निम्नलिखित संबंध R.

R = {(x, y) : x तथा y एक ही मोहल्ले में रहते हैं}

निर्धारित कीजिए कि क्या निम्नलिखित संबंध स्वतुल्य, सममित और संक्रामक हैं:

किसी विशेष समय पर किसी नगर के निवासियों के समुच्चय में निम्नलिखित संबंध R.

R = {(x, y) : x, y से ठीक-ठीक 7 सेमी लंबा है}

निर्धारित कीजिए कि क्या निम्नलिखित संबंध स्वतुल्य, सममित और संक्रामक हैं:

किसी विशेष समय पर किसी नगर के निवासियों के समुच्चय में निम्नलिखित संबंध R.

R = {(x, y) : x, y की पत्नी है}

निर्धारित कीजिए कि क्या निम्नलिखित संबंध स्वतुल्य, सममित और संक्रामक हैं:

किसी विशेष समय पर किसी नगर के निवासियों के समुच्चय में निम्नलिखित संबंध R.

R = {(x, y) : x, y के पिता हैं}

सिद्ध कीजिए कि वास्तविक संख्याओं के समुच्चय R में R = {(a, b) : a ≤ b²}, द्वारा परिभाषित संबंध R, न तो स्वतुल्य है, न सममित है और न ही संक्रामक है।

जाँच कीजिए कि क्या समुच्चय {1, 2, 3, 4, 5, 6} में R = {(a, b) : b = a + 1} द्वारा परिभाषित संबंध R स्वतुल्य, सममित या संक्रामक है।

सिद्ध कीजिए कि R में R = {(a, b) : a ≤ b}, द्वारा परिभाषित संबंध R स्वतुल्य तथा संक्रामक है किंतु सममित नहीं है।

जाँच कीजिए कि क्या R में R = {(a, b) : a ≤ b³} द्वारा परिभाषित संबंध स्वतुल्य, सममित अथवा संक्रामक हैं?

सिद्ध कीजिए कि समुच्चय {1, 2, 3} में R = {(1,2), (2,1)} द्वारा प्रदत्त संबंध R सममित है किंतु न तो स्वतुल्य है और न संक्रामक है।

सिद्ध कीजिए कि किसी कॉलेज के पुस्तकालय की समस्त पुस्तकों के समुच्चय A में R = {(x, y) : x तथा y में पेजों की संख्या समान है} द्वारा प्रदत्त संबंध R एक तुल्यता संबंध है।

सिद्ध कीजिए कि A = {1, 2, 3, 4, 5} में, R = {(a, b) : |a - b| सम है} द्वारा प्रदत्त संबंध R एक तुल्यता संबंध है। प्रमाणित कीजिए कि {1, 3, 5} के सभी अवयव एक-दूसरे से संबंधित हैं और समुच्चय {2, 4} के सभी अवयव एक-दूसरे से संबंधित हैं परंतु {1, 3 ,5} का कोई भी अवयव {2, 4} के किसी अवयव से संबंधित नहीं है।

सिद्ध कीजिए कि समुच्चय A = {x ∈ Z : 0 ≤ x ≤ 12}, में दिए गए निम्नलिखित संबंध R में से प्रत्येक एक तुल्यता संबंध है:

R = {(a, b) : |a - b|, 4 का एक गुणज है}, प्रत्येक दशा में 1 से संबंधित अवयवों को ज्ञात कीजिए।

सिद्ध कीजिए कि समुच्चय A = {x ∈ Z : 0 ≤ x ≤ 12}, में दिए गए निम्नलिखित संबंध R में से प्रत्येक एक तुल्यता संबंध है:

R = {(a, b) : a = b}, प्रत्येक दशा में 1 से संबंधित अवयवों को ज्ञात कीजिए।

ऐसे संबंध का उदाहरण दीजिए, जो सममित हो परंतु न तो स्वतुल्य हो और न संक्रामक हो।

ऐसे संबंध का उदाहरण दीजिए, जो संक्रामक हो परंतु न तो स्वतुल्य हो और न सममित हो।

ऐसे संबंध का उदाहरण दीजिए, जो स्वतुल्य तथा सममित हो किंतु संक्रामक न हो।

ऐसे संबंध का उदाहरण दीजिए, जो स्वतुल्य तथा संक्रामक हो किंतु सममित न हो।

ऐसे संबंध का उदाहरण दीजिए, जो सममित तथा संक्रामक हो किंतु स्वतुल्य न हो।

सिद्ध कीजिए कि किसी समतल में स्थित बिंदुओं के समुच्चय में R = {(P, Q) : बिंदु P की मूल  बिंदु से दूरी, बिंदु Q की मूल बिंदु से दूरी के समान है} द्वारा प्रदत्त संबंध R एक तुल्यता संबंध है। पुनः सिद्ध कीजिए कि बिंदु P ≠ (0, 0) से संबंधित सभी बिंदुओं का समुच्चय P से होकर जाने वाले एक ऐसे वृत्त को निरूपित करता है, जिसका केंद्र मूल बिंदु पर है।

सिद्ध कीजिए कि समस्त त्रिभुजों के समुच्चय A में, R = {(T₁ T₂) : T₁ T₂, के समरूप है} द्वारा परिभाषित संबंध R एक तुल्यता संबंध है। भुजाओं 3, 4, 5 वाले समकोण त्रिभुज T₁ भुजाओं 5, 12, 13 वाले समकोण त्रिभुज T_2, तथा भुजाओं 6, 8, 10 वाले समकोण त्रिभुज T₃  पर विचार कीजिए। T₁ T₂ और T₃  में से कौन से त्रिभुज परस्पर संबंधित हैं?

सिद्ध कीजिए कि समस्त बहुभुजों के समुच्चय A में, R = {(P₁, P₂) : P₁, तथा P₂}, की भुजाओं की संख्या समान है। प्रकार से परिभाषित संबंध R एक तुल्यता संबंध है। 3, 4 और 5 लंबाई की भुजाओं वाले समकोण त्रिभुज से संबंधित समुच्चय A के सभी अवयवों का समुच्चय ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए कि XY-तल में स्थित समस्त रेखाओं का समुच्चय L है और L में R = {(L_1, L₂) : L₁ समान्तर है L₂ के} द्वारा परिभाषित संबंध R है। सिद्ध कीजिए कि R एक तुल्यता संबंध है। रेखा y = 2x + 4 से संबंधित समस्त रेखाओं का समुच्चय ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए कि समुच्चय {(1, 2, 3, 4)} में, R = {(1, 2), (2, 2), (1, 1), (4, 4), (1, 3), (3, 3), (3, 2)} द्वारा परिभाषित संबंध R है। निम्नलिखित में से सही उत्तर चुनिए।

मान लीजिए कि समुच्चय N में, R = {(a, b) : a = b - 2, b > 6} द्वारा प्रदत्त संबंध R है। निम्नलिखित में से सही उत्तर चुनिए:

सिद्ध कीजिए कि `f (x) = 1/x` द्वारा परिभाषित फलन f : R_* → R_* एकैकी तथा आच्छादक है, जहाँ R_* सभी ऋणेतर वास्तविक संख्याओं का समुच्चय है। यदि प्रांत R_* को N से बदल दिया जाए, जब कि सहप्रांत पूर्ववत R* ही रहे, तो भी क्या यह परिणाम सत्य होगा?

निम्नलिखित फलन की एकैक (Injective) तथा आच्छादी (Surjective) गुणों की जाँच कीजिए :

f(x) = x² द्वारा प्रदत्त f : N → N फलन है।

निम्नलिखित फलन की एकैक (Injective) तथा आच्छादी (Surjective) गुणों की जाँच कीजिए:

f(x) = x²  द्वारा प्रदत्त f : Z → Z फलन है।

निम्नलिखित फलन की एकैक (Injective) तथा आच्छादी (Surjective) गुणों की जाँच कीजिए :

f(x) = x² द्वारा प्रदत्त f : R → R फलन है।

निम्नलिखित फलन की एकैक (Injective) तथा आच्छादी (Surjective) गुणों की जाँच कीजिए:

f(x) = x³ द्वारा प्रदत्त f : N → N फलन है।

निम्नलिखित फलन की एकैक (Injective) तथा आच्छादी (Surjective) गुणों की जाँच कीजिए :

f(x) = x³ द्वारा प्रदत्त f : Z → Z फलन है।

सिद्ध कीजिए कि f(x) = [x] द्वारा प्रदत्त महत्तम पूर्णाक फलन f : R → R, न तो एकैकी है और न आच्छादक है, जहाँ [x], x से कम या उसके बराबर महत्तम पूर्णांक को निरूपित करता है।

सिद्ध कीजिए कि f(x) = |x| द्वारा प्रदत्त मापांक फलन f : R → R, न तो एकैकी है और न आच्छादक है, जहाँ |x| बराबर x,  यदि x धन या शून्य है तथा |x| बराबर -x, यदि x ऋण है।

सिद्ध कीजिए कि f : R → R, f(x) = `{(1, "यदि"  "x" > 0), (0, "यदि"  "x" = 0), (-1, "यदि"  "x" < 0):}` द्वारा प्रदत्त चिन्ह फलन न तो एकैकी है और न आच्छादक है।

मान लीजिए कि A = {1, 2, 3}, B = {4, 5, 6, 7} तथा f = {(1, 4), (2, 5), (3, 6)} A से B तक एक फलन है। सिद्ध कीजिए कि f एकैकी है।

निम्नलिखित स्थिति में बतलाइए कि क्या दिए हुए फलन एकैकी, आच्छादक अथवा एकैकी आच्छादी (bijective) हैं। अपने उत्तर का औचित्य भी बताइये।

f(x) = 3 - 4x द्वारा परिभाषित फलन f : R → R है।

निम्नलिखित स्थिति में बतलाइए कि क्या दिए हुए फलन एकैकी, आच्छादक अथवा एकैकी आच्छादी (bijective) हैं। अपने उत्तर का औचित्य भी बताइये।

f(x) = 1 + x² द्वारा परिभाषित फलन f : R → R है।

मान लीजिए A तथा B दो समुच्चय हैं। सिद्ध कीजिए कि f : A × B → B × A, इस प्रकार हैं कि f(a, b) = f(b, a) एक एकैकी आच्छादि (bijective) फलन है।

मान लीजिए कि समस्त n ∈ N के लिए f(n) = `{((n+1)/2, "यदि  n  विषम है"),(n/2,"यदि  n  सम है"):}` 

द्वारा परिभाषित एक फलन f : N → N है। बतलाइए कि क्या फलन f  एकैकी आच्छादि (bijective) है अपने उत्तर का औचित्य भी बतलाइए।

मान लीजिए कि A= R - {3} तथा B = R - {1} हैं। f(x) = `((x - 2)/(x - 3))` द्वारा परिभाषित फलन f : A → B पर विचार कीजिए। क्या f एकैकी तथा आच्छादक है? अपने उत्तर का औचित्य भी बतलाइए।

मान लीजिए f : R → R, f (x) = x⁴  द्वारा परिभाषित है। सही उत्तर का चयन कीजिए।

मान लीजिए कि f(x) = 3x द्वारा परिभाषित फलन f : R → R है। सही उत्तर चुनिए:

सिद्ध कीजिए कि f : R → {x ∈ R : -1 < x < 1} जहाँ f(x) = `x/(1 + |x|)`, x ∈ R द्वारा परिभाषित फलन एकैकी तथा आच्छादक है।

सिद्ध कीजिए कि f(x) = x³ द्वारा प्रदत्त फलन f : R → R एकैक (Injective) है।

एक अरिक्त समुच्चय X दिया हुआ है। P(X) जो कि X के समस्त उपसमुच्चयों का समुच्चय है, पर विचार कीजिए। निम्नलिखित तरह से P(X) में एक संबंध R परिभाषित कीजिए: P(X) में उपसमुच्चयों A, B के लिए, ARB, यदि और केवल यदि A ⊂ B है। क्या R, P(X) में एक तुल्यता संबंध है? अपने उत्तर का औचित्य भी लिखिए ।

समुच्चय {1, 2, 3, ... ,n} से स्वयं तक के समस्त आच्छादक फलनों की संख्या ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए कि A = {-1, 0, 1, 2}, B = {-4, -2, 0, 2} और f, g : A → B, क्रमशः f(x) = x² - x, x ∈ A तथा g(x) = `2|x - 1/2| - 1, x ∈ A` द्वारा परिभाषित फलन हैं | क्या f तथा g समान हैं? अपने उत्तर का औचित्य भी बतलाइए | (संकेत : नोट कीजिए कि दो फलन f : A → B तथा g : A → B समान कहलाते हैं यदि f(a) = g(a) ∀ a ∈ A हो।)

यदि A = {1, 2, 3} हो तो ऐसे संबंध जिनमें अवयव (1, 2) तथा (1, 3) हों और जो स्वतुल्य तथा सममित हैं किंतु संक्रामक नहीं है, की संख्या है।

यदि A = {1, 2, 3} हो तो अवयव (1, 2) वाले तुल्यता संबंधों की संख्या है।