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Question
निर्धारित कीजिए कि क्या निम्नलिखित संबंध स्वतुल्य, सममित और संक्रामक हैं:
समस्त पूर्णांकों के समुच्चय Z में R = {(x, y) : x - y एक पूर्णांक है} द्वारा परिभाषित संबंध R.
Solution
स्वतुल्य
R = {(x, y) : x - y एक पूर्णांक है }
यहाँ प्रत्येक x ∈ Z के लिऐ, (x, x) ∈ R क्योंकि x - x = 0 एक पूर्णांक है।
∴ R स्वतुल्य है।
सममित
माना संख्याएँ x, y ∈ Z, यदि (x, y) ∈ R, तब x - y एक पूर्णांक है।
⇒ -(x - y) भी एक पूर्णांक है।
⇒ (y - x) भी एक पूर्णांक है।
∴ (y, x) ∈ R, इसलिए R सममित है।
संक्रामक
अब माना (x, y) और (y, z) ∈ R, जहाँ x, y, z ∈ Z.
⇒ (x - y) और (y - z) पूर्णांक हैं।
⇒ x - z = (x - y) + (y - z) पूर्णांक है।
∴ (x, z) ∈ R, इसलिए, R संक्रामक है।
अंत:, R स्वतुल्य, सममित और संक्रामक है।
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