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Question
मान लीजिए कि XY-तल में स्थित समस्त रेखाओं का समुच्चय L है और L में R = {(L1, L2) : L1 समान्तर है L2 के} द्वारा परिभाषित संबंध R है। सिद्ध कीजिए कि R एक तुल्यता संबंध है। रेखा y = 2x + 4 से संबंधित समस्त रेखाओं का समुच्चय ज्ञात कीजिए।
Solution
(i) स्वतुल्य
आर ={(L1, L2): L1, L2 के समानांतर है।}
R स्वतुल्य है क्योंकि कोई भी रेखा L1 स्वयं के समानांतर होती है, अर्थात, (L1, L1) ∈ R
∴ R स्वतुल्य है।
(ii) सममित
अब, मान लीजिए (L1, L2) ∈ R
⇒ L1, L2 के समानांतर है।
⇒ L2, L1 के समानांतर है।
⇒ (L2, L1) ∈ आर
∴ R सममित है।
(iii) सकर्मक
अब, मान लीजिए (L1, L2), (L2, L3) ∈ R
⇒ L1, L2 के समानांतर है। साथ ही, L2, L3 के समानांतर है।
⇒ L1, L3 के समानांतर है।
∴R सकर्मक है।
अतः, R एक तुल्यता संबंध है।
रेखा y = 2x + 4 से संबंधित सभी रेखाओं का समुच्चय उन सभी रेखाओं का समुच्चय है जो रेखा y = 2x + 4 के समानांतर हैं
रेखा y = 2x + 4 का ढलान m = 2 है।
यह ज्ञात है कि समानांतर रेखाओं का ढलान समान होता है।
दी गई रेखा के समानांतर रेखा y = 2x + c के रूप की है, जहां c ∈ R
इसलिए, दी गई रेखा से संबंधित सभी रेखाओं का समुच्चय y = 2x + c द्वारा दिया गया है, जहां c ∈ R
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