Advertisements
Advertisements
Question
निर्धारित कीजिए कि क्या निम्नलिखित संबंध स्वतुल्य, सममित और संक्रामक हैं:
किसी विशेष समय पर किसी नगर के निवासियों के समुच्चय में निम्नलिखित संबंध R.
R = {(x, y) : x तथा y एक ही मोहल्ले में रहते हैं}
Solution
(i) स्वतुल्य:
मान लीजिए x, R का एक मनमाना तत्व है। फिर,
x ∈ आर
⇒ x और x एक ही मोहल्ले में रहते हैं, यह सच है क्योंकि वे एक ही हैं।
अतः, R एक स्वतुल्य संबंध है।
(ii) सममित:
मान लीजिए (x, y) ∈ R
⇒ x और y एक ही मोहल्ले में रहते हैं
⇒ y और x एक ही मोहल्ले में रहते हैं
⇒ (y, x) ∈ R
अतः, R एक सममित संबंध है।
(iii) संक्रामक:
मान लीजिए (x, y)∈R और (y, z)∈R तब,
x और y एक ही मोहल्ले में रहते हैं और y और z एक ही मोहल्ले में रहते हैं
⇒ x, y और z सभी एक ही मोहल्ले में रहते हैं
⇒ x और z एक ही मोहल्ले में रहते हैं
⇒ (x, z) ∈ R
अतः, R एक संक्रामक संबंध है।
APPEARS IN
RELATED QUESTIONS
निर्धारित कीजिए कि क्या निम्नलिखित संबंध स्वतुल्य, सममित और संक्रामक हैं:
प्राकृत संख्याओं के समुच्चय N में R = {(x, y) : y = x + 5 तथा x < 4} द्वारा परिभाषित संबंध R.
निर्धारित कीजिए कि क्या निम्नलिखित संबंध स्वतुल्य, सममित और संक्रामक हैं:
समुच्चय A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} में R = {x, y) : y भाज्य है x से) द्वारा परिभाषित संबंध R है।
निर्धारित कीजिए कि क्या निम्नलिखित संबंध स्वतुल्य, सममित और संक्रामक हैं:
समस्त पूर्णांकों के समुच्चय Z में R = {(x, y) : x - y एक पूर्णांक है} द्वारा परिभाषित संबंध R.
निर्धारित कीजिए कि क्या निम्नलिखित संबंध स्वतुल्य, सममित और संक्रामक हैं:
किसी विशेष समय पर किसी नगर के निवासियों के समुच्चय में निम्नलिखित संबंध R.
R = {(x, y) : x तथा y एक ही स्थान पर कार्य करते हैं}
सिद्ध कीजिए कि R में R = {(a, b) : a ≤ b}, द्वारा परिभाषित संबंध R स्वतुल्य तथा संक्रामक है किंतु सममित नहीं है।
जाँच कीजिए कि क्या R में R = {(a, b) : a ≤ b3} द्वारा परिभाषित संबंध स्वतुल्य, सममित अथवा संक्रामक हैं?
सिद्ध कीजिए कि A = {1, 2, 3, 4, 5} में, R = {(a, b) : |a - b| सम है} द्वारा प्रदत्त संबंध R एक तुल्यता संबंध है। प्रमाणित कीजिए कि {1, 3, 5} के सभी अवयव एक-दूसरे से संबंधित हैं और समुच्चय {2, 4} के सभी अवयव एक-दूसरे से संबंधित हैं परंतु {1, 3 ,5} का कोई भी अवयव {2, 4} के किसी अवयव से संबंधित नहीं है।
सिद्ध कीजिए कि समुच्चय A = {x ∈ Z : 0 ≤ x ≤ 12}, में दिए गए निम्नलिखित संबंध R में से प्रत्येक एक तुल्यता संबंध है:
R = {(a, b) : |a - b|, 4 का एक गुणज है}, प्रत्येक दशा में 1 से संबंधित अवयवों को ज्ञात कीजिए।
ऐसे संबंध का उदाहरण दीजिए, जो सममित हो परंतु न तो स्वतुल्य हो और न संक्रामक हो।
सिद्ध कीजिए कि समुच्चय A = {x ∈ Z : 0 ≤ x ≤ 12}, में दिए गए निम्नलिखित संबंध R में से प्रत्येक एक तुल्यता संबंध है:
R = {(a, b) : a = b}, प्रत्येक दशा में 1 से संबंधित अवयवों को ज्ञात कीजिए।
निर्धारित कीजिए कि क्या निम्नलिखित संबंध स्वतुल्य, सममित और संक्रामक हैं:
किसी विशेष समय पर किसी नगर के निवासियों के समुच्चय में निम्नलिखित संबंध R.
R = {(x, y) : x, y से ठीक-ठीक 7 सेमी लंबा है}
निर्धारित कीजिए कि क्या निम्नलिखित संबंध स्वतुल्य, सममित और संक्रामक हैं:
किसी विशेष समय पर किसी नगर के निवासियों के समुच्चय में निम्नलिखित संबंध R.
R = {(x, y) : x, y की पत्नी है}
ऐसे संबंध का उदाहरण दीजिए, जो स्वतुल्य तथा सममित हो किंतु संक्रामक न हो।
ऐसे संबंध का उदाहरण दीजिए, जो सममित तथा संक्रामक हो किंतु स्वतुल्य न हो।
सिद्ध कीजिए कि किसी समतल में स्थित बिंदुओं के समुच्चय में R = {(P, Q) : बिंदु P की मूल बिंदु से दूरी, बिंदु Q की मूल बिंदु से दूरी के समान है} द्वारा प्रदत्त संबंध R एक तुल्यता संबंध है। पुनः सिद्ध कीजिए कि बिंदु P ≠ (0, 0) से संबंधित सभी बिंदुओं का समुच्चय P से होकर जाने वाले एक ऐसे वृत्त को निरूपित करता है, जिसका केंद्र मूल बिंदु पर है।
सिद्ध कीजिए कि समस्त त्रिभुजों के समुच्चय A में, R = {(T1 T2) : T1 T2, के समरूप है} द्वारा परिभाषित संबंध R एक तुल्यता संबंध है। भुजाओं 3, 4, 5 वाले समकोण त्रिभुज T1 भुजाओं 5, 12, 13 वाले समकोण त्रिभुज T2, तथा भुजाओं 6, 8, 10 वाले समकोण त्रिभुज T3 पर विचार कीजिए। T1 T2 और T3 में से कौन से त्रिभुज परस्पर संबंधित हैं?
सिद्ध कीजिए कि समस्त बहुभुजों के समुच्चय A में, R = {(P1, P2) : P1, तथा P2}, की भुजाओं की संख्या समान है। प्रकार से परिभाषित संबंध R एक तुल्यता संबंध है। 3, 4 और 5 लंबाई की भुजाओं वाले समकोण त्रिभुज से संबंधित समुच्चय A के सभी अवयवों का समुच्चय ज्ञात कीजिए।
मान लीजिए कि समुच्चय N में, R = {(a, b) : a = b - 2, b > 6} द्वारा प्रदत्त संबंध R है। निम्नलिखित में से सही उत्तर चुनिए:
एक अरिक्त समुच्चय X दिया हुआ है। P(X) जो कि X के समस्त उपसमुच्चयों का समुच्चय है, पर विचार कीजिए। निम्नलिखित तरह से P(X) में एक संबंध R परिभाषित कीजिए: P(X) में उपसमुच्चयों A, B के लिए, ARB, यदि और केवल यदि A ⊂ B है। क्या R, P(X) में एक तुल्यता संबंध है? अपने उत्तर का औचित्य भी लिखिए ।
यदि A = {1, 2, 3} हो तो ऐसे संबंध जिनमें अवयव (1, 2) तथा (1, 3) हों और जो स्वतुल्य तथा सममित हैं किंतु संक्रामक नहीं है, की संख्या है।
