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Question
सिद्ध कीजिए कि समस्त त्रिभुजों के समुच्चय A में, R = {(T1 T2) : T1 T2, के समरूप है} द्वारा परिभाषित संबंध R एक तुल्यता संबंध है। भुजाओं 3, 4, 5 वाले समकोण त्रिभुज T1 भुजाओं 5, 12, 13 वाले समकोण त्रिभुज T2, तथा भुजाओं 6, 8, 10 वाले समकोण त्रिभुज T3 पर विचार कीजिए। T1 T2 और T3 में से कौन से त्रिभुज परस्पर संबंधित हैं?
Solution
(i) स्वतुल्य:
R = {(T1, T2): T1, T2 के समान है}
R स्वतुल्य है क्योंकि प्रत्येक त्रिभुज स्वयं के समान है।
∴ R स्वतुल्य है।
(ii) सममित:
इसके अलावा, यदि (T1, T2) ∈ R, तो T1, T2 के समान है।
⇒ T2, T1 के समान है।
⇒ (T2, T1) ∈ R
∴ R सममित है।
(iii) संक्रामक:
अब, मान लीजिए (T1, T2), (T2, T3) ∈ R.
⇒ T1, T2 के समान है और T2, T3 के समान है।
⇒ T1, T3 के समान है।
⇒ (T1,T3) ∈ R
∴ R संक्रामक है।
इस प्रकार, R एक तुल्यता संबंध है।
अब, हम यह देख सकते हैं:
`3/6 = 4/8 = 5/10 (=1/2)`
त्रिभुज T1 और T3 की संगत भुजाएँ समान अनुपात में हैं।
फिर, त्रिभुज T1 त्रिभुज T3 के समान है।
इसलिए, T1, T3 से संबंधित है।
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