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Question
एक अरिक्त समुच्चय X दिया हुआ है। P(X) जो कि X के समस्त उपसमुच्चयों का समुच्चय है, पर विचार कीजिए। निम्नलिखित तरह से P(X) में एक संबंध R परिभाषित कीजिए: P(X) में उपसमुच्चयों A, B के लिए, ARB, यदि और केवल यदि A ⊂ B है। क्या R, P(X) में एक तुल्यता संबंध है? अपने उत्तर का औचित्य भी लिखिए ।
Solution
हल दिया है, समुच्चय P(X), जो कि x के समस्त उपसमुच्चयों का समुच्चय है तथा P(X) में एक संबंध R इस प्रकार परिभाषित है कि P(X) में उपसमुच्वयों A, B के लिए, ARB यदि और केवल यदि A ⊆ B है।
(i) स्वतुल्य:
चूँकि प्रत्येक समुच्चय स्वयं का उपसमुच्चय होता है। अतः प्रत्येक A ∈ P(X) के लिए ARB प्राप्त होता है।
अतः R स्वतुल्य संबंध है।
(ii) सममित:
मान लीजिए ARB ⇒ A⊂B
इसका तात्पर्य B ⊂ A से नहीं किया जा सकता।
अब, मान लीजिए A = {1, 2} तथा B = {1, 2, 3} है, तब B, A से संबंधित नहीं होगा।
अत: R सममित समुच्चय नहीं है।
(iii) संक्रामक:
पुन: मान लीजिए ARB तथा BRC है।
तब, A ⊂ B, B ⊂ C
⇒ A ⊂ C
ARC प्राप्त होता है।
अतः R संक्रमक संबंध है।
इसलिए तुल्यता संबंध नहीं है क्योंकि R सममित संबंध नहीं है।
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