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Question
मान लीजिए कि समुच्चय {(1, 2, 3, 4)} में, R = {(1, 2), (2, 2), (1, 1), (4, 4), (1, 3), (3, 3), (3, 2)} द्वारा परिभाषित संबंध R है। निम्नलिखित में से सही उत्तर चुनिए।
Options
R स्वतुल्य तथा सममित है किंतु संक्रामक नहीं है।
R स्वतुल्य तथा संक्रामक है किंतु सममित नहीं है।
R सममित तथा संक्रामक है किंतु स्वतुल्य नहीं है।
R एक तुल्यता संबंध है।
Solution 1
R स्वतुल्य तथा संक्रामक है किंतु सममित नहीं है।
स्पष्टीकरण:
R = {(1, 2), (2, 2), (1, 1), (4, 4), (1, 3), (3, 3), (3, 2)}
यहाँ (a, a) ∈ R, सभी अवयवों a ∈ {1, 2, 3, 4} के लिए।
∴ R स्वतुल्य है।
यहाँ (1, 2) ∈ R लेकिन (2, 1) ∉ R, इसलिए R सममित नहीं है।
अब, यहाँ (a, b) और (b, c) ∈ R ⇒ (a, c) ∈ R सभी अवयवों a, b, c ∈ {1, 2, 3, 4}
इसलिए R संक्रामक है।
अंत:, R स्वतुल्य तथा संक्रामक है किंतु सममित नहीं है।
अंत:, विकल्प R स्वतुल्य तथा संक्रामक है किंतु सममित नहीं है। सही है।
Solution 2
R स्वतुल्य तथा संक्रामक है किंतु सममित नहीं है।
स्पष्टीकरण:
⇒ R स्वतुल्य है क्योंकि (1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4) ∈ R सभी 1, 2, 3, 4 ∈ {1, 2, 3, 4}
⇒ R संक्रामक है क्योंकि (1, 3) ∈ R और (3, 2) ∈ R
(1,2) ∈ R सभी 1, 2, 3 के लिए ∈ {1, 2, 3, 4}
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