Advertisements
Advertisements
प्रश्न
सिद्ध कीजिए कि समस्त त्रिभुजों के समुच्चय A में, R = {(T1 T2) : T1 T2, के समरूप है} द्वारा परिभाषित संबंध R एक तुल्यता संबंध है। भुजाओं 3, 4, 5 वाले समकोण त्रिभुज T1 भुजाओं 5, 12, 13 वाले समकोण त्रिभुज T2, तथा भुजाओं 6, 8, 10 वाले समकोण त्रिभुज T3 पर विचार कीजिए। T1 T2 और T3 में से कौन से त्रिभुज परस्पर संबंधित हैं?
उत्तर
(i) स्वतुल्य:
R = {(T1, T2): T1, T2 के समान है}
R स्वतुल्य है क्योंकि प्रत्येक त्रिभुज स्वयं के समान है।
∴ R स्वतुल्य है।
(ii) सममित:
इसके अलावा, यदि (T1, T2) ∈ R, तो T1, T2 के समान है।
⇒ T2, T1 के समान है।
⇒ (T2, T1) ∈ R
∴ R सममित है।
(iii) संक्रामक:
अब, मान लीजिए (T1, T2), (T2, T3) ∈ R.
⇒ T1, T2 के समान है और T2, T3 के समान है।
⇒ T1, T3 के समान है।
⇒ (T1,T3) ∈ R
∴ R संक्रामक है।
इस प्रकार, R एक तुल्यता संबंध है।
अब, हम यह देख सकते हैं:
`3/6 = 4/8 = 5/10 (=1/2)`
त्रिभुज T1 और T3 की संगत भुजाएँ समान अनुपात में हैं।
फिर, त्रिभुज T1 त्रिभुज T3 के समान है।
इसलिए, T1, T3 से संबंधित है।
APPEARS IN
संबंधित प्रश्न
निर्धारित कीजिए कि क्या निम्नलिखित संबंध स्वतुल्य, सममित और संक्रामक हैं:
समुच्चय A = {1, 2, 3, ..., 13, 14} में संबंध R, इस प्रकार परिभाषित है कि
R = {(x, y) : 3x - y = 0}
निर्धारित कीजिए कि क्या निम्नलिखित संबंध स्वतुल्य, सममित और संक्रामक हैं:
प्राकृत संख्याओं के समुच्चय N में R = {(x, y) : y = x + 5 तथा x < 4} द्वारा परिभाषित संबंध R.
निर्धारित कीजिए कि क्या निम्नलिखित संबंध स्वतुल्य, सममित और संक्रामक हैं:
समस्त पूर्णांकों के समुच्चय Z में R = {(x, y) : x - y एक पूर्णांक है} द्वारा परिभाषित संबंध R.
सिद्ध कीजिए कि वास्तविक संख्याओं के समुच्चय R में R = {(a, b) : a ≤ b2}, द्वारा परिभाषित संबंध R, न तो स्वतुल्य है, न सममित है और न ही संक्रामक है।
जाँच कीजिए कि क्या समुच्चय {1, 2, 3, 4, 5, 6} में R = {(a, b) : b = a + 1} द्वारा परिभाषित संबंध R स्वतुल्य, सममित या संक्रामक है।
सिद्ध कीजिए कि R में R = {(a, b) : a ≤ b}, द्वारा परिभाषित संबंध R स्वतुल्य तथा संक्रामक है किंतु सममित नहीं है।
जाँच कीजिए कि क्या R में R = {(a, b) : a ≤ b3} द्वारा परिभाषित संबंध स्वतुल्य, सममित अथवा संक्रामक हैं?
सिद्ध कीजिए कि किसी कॉलेज के पुस्तकालय की समस्त पुस्तकों के समुच्चय A में R = {(x, y) : x तथा y में पेजों की संख्या समान है} द्वारा प्रदत्त संबंध R एक तुल्यता संबंध है।
सिद्ध कीजिए कि A = {1, 2, 3, 4, 5} में, R = {(a, b) : |a - b| सम है} द्वारा प्रदत्त संबंध R एक तुल्यता संबंध है। प्रमाणित कीजिए कि {1, 3, 5} के सभी अवयव एक-दूसरे से संबंधित हैं और समुच्चय {2, 4} के सभी अवयव एक-दूसरे से संबंधित हैं परंतु {1, 3 ,5} का कोई भी अवयव {2, 4} के किसी अवयव से संबंधित नहीं है।
सिद्ध कीजिए कि समुच्चय A = {x ∈ Z : 0 ≤ x ≤ 12}, में दिए गए निम्नलिखित संबंध R में से प्रत्येक एक तुल्यता संबंध है:
R = {(a, b) : |a - b|, 4 का एक गुणज है}, प्रत्येक दशा में 1 से संबंधित अवयवों को ज्ञात कीजिए।
ऐसे संबंध का उदाहरण दीजिए, जो संक्रामक हो परंतु न तो स्वतुल्य हो और न सममित हो।
सिद्ध कीजिए कि समुच्चय A = {x ∈ Z : 0 ≤ x ≤ 12}, में दिए गए निम्नलिखित संबंध R में से प्रत्येक एक तुल्यता संबंध है:
R = {(a, b) : a = b}, प्रत्येक दशा में 1 से संबंधित अवयवों को ज्ञात कीजिए।
निर्धारित कीजिए कि क्या निम्नलिखित संबंध स्वतुल्य, सममित और संक्रामक हैं:
किसी विशेष समय पर किसी नगर के निवासियों के समुच्चय में निम्नलिखित संबंध R.
R = {(x, y) : x, y की पत्नी है}
निर्धारित कीजिए कि क्या निम्नलिखित संबंध स्वतुल्य, सममित और संक्रामक हैं:
किसी विशेष समय पर किसी नगर के निवासियों के समुच्चय में निम्नलिखित संबंध R.
R = {(x, y) : x, y के पिता हैं}
ऐसे संबंध का उदाहरण दीजिए, जो स्वतुल्य तथा सममित हो किंतु संक्रामक न हो।
ऐसे संबंध का उदाहरण दीजिए, जो स्वतुल्य तथा संक्रामक हो किंतु सममित न हो।
ऐसे संबंध का उदाहरण दीजिए, जो सममित तथा संक्रामक हो किंतु स्वतुल्य न हो।
सिद्ध कीजिए कि किसी समतल में स्थित बिंदुओं के समुच्चय में R = {(P, Q) : बिंदु P की मूल बिंदु से दूरी, बिंदु Q की मूल बिंदु से दूरी के समान है} द्वारा प्रदत्त संबंध R एक तुल्यता संबंध है। पुनः सिद्ध कीजिए कि बिंदु P ≠ (0, 0) से संबंधित सभी बिंदुओं का समुच्चय P से होकर जाने वाले एक ऐसे वृत्त को निरूपित करता है, जिसका केंद्र मूल बिंदु पर है।
सिद्ध कीजिए कि समस्त बहुभुजों के समुच्चय A में, R = {(P1, P2) : P1, तथा P2}, की भुजाओं की संख्या समान है। प्रकार से परिभाषित संबंध R एक तुल्यता संबंध है। 3, 4 और 5 लंबाई की भुजाओं वाले समकोण त्रिभुज से संबंधित समुच्चय A के सभी अवयवों का समुच्चय ज्ञात कीजिए।
एक अरिक्त समुच्चय X दिया हुआ है। P(X) जो कि X के समस्त उपसमुच्चयों का समुच्चय है, पर विचार कीजिए। निम्नलिखित तरह से P(X) में एक संबंध R परिभाषित कीजिए: P(X) में उपसमुच्चयों A, B के लिए, ARB, यदि और केवल यदि A ⊂ B है। क्या R, P(X) में एक तुल्यता संबंध है? अपने उत्तर का औचित्य भी लिखिए ।
यदि A = {1, 2, 3} हो तो अवयव (1, 2) वाले तुल्यता संबंधों की संख्या है।
