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Question
सिद्ध कीजिए कि समस्त बहुभुजों के समुच्चय A में, R = {(P1, P2) : P1, तथा P2}, की भुजाओं की संख्या समान है। प्रकार से परिभाषित संबंध R एक तुल्यता संबंध है। 3, 4 और 5 लंबाई की भुजाओं वाले समकोण त्रिभुज से संबंधित समुच्चय A के सभी अवयवों का समुच्चय ज्ञात कीजिए।
Solution
हम R पर निम्नलिखित गुण देखते हैं:
(i) स्वतुल्य:
मान लीजिए P1, A का एक अवयव है।
फिर, बहुभुज P1 और P1 की भुजाओं की संख्या समान है, क्योंकि वे एक ही हैं।
⇒ (P1, P1) ∈ R सभी P1 ∈ A के लिए
अतः, R, A पर स्वतुल्य है।
(ii) सममित:
मान लीजिए (P1, P2) ∈ R
⇒ P1 और P2 की भुजाओं की संख्या समान है।
⇒ P2 और P1 की भुजाओं की संख्या समान है।
⇒(P2, P1) ∈ R सभी P1, P2 ∈ A के लिए
अतः, R, A पर सममित है।
(ii) संक्रामक:
मान लीजिए (P1, P2), (P2, P3) ∈ R
⇒ P1 और P2 की भुजाओं की संख्या समान है और P2 और P3 की भुजाओं की संख्या समान है।
⇒ P1, P2 और P3 की भुजाओं की संख्या समान है।
⇒ P1 और P3 की भुजाओं की संख्या समान है।
⇒ (P1, P3) ∈ R सभी P1, P3 A के लिए
अतः, R, A पर संक्रामक है।
इसलिए, R समुच्चय A पर एक तुल्यता संबंध है।
साथ ही, सभी त्रिभुजों का समुच्चय ∈ A, भुजाओं 3, 4 और 5 वाले समकोण त्रिभुज T से संबंधित है।
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