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Question
सिद्ध कीजिए कि f : R → {x ∈ R : -1 < x < 1} जहाँ f(x) = `x/(1 + |x|)`, x ∈ R द्वारा परिभाषित फलन एकैकी तथा आच्छादक है।
Solution
हल दिया गया फलन f : R → {x ∈ R, -1 < x < 1}
f(x) = `x/(1 + |x|)` द्वारा परिभाषित है।
मान लीजिये, f(x) = f(y) x, y ∈ R
⇒ `x/(1 + |x|) = y/(1 + |y|)`
अब, यदि x - धनात्मक तथा y ऋणात्मक हो, तो
`x/(1 + x) = y/(1 + y)`
⇒ x + xy = y + xy
⇒ x = y
चूँकि x धनात्मक तथा y ऋणात्मक है।
x > y ⇒ x = y > 0
लेकिन 2xy ऋणात्मक है,
2xy ≠ x - y
अतः x - धनात्मक तथा y - ऋणात्मक को छोड़ा जा सकता है। इसी प्रकार, x ॠणात्मक तथा y धनात्मक को भी छोड़ा जा सकता है।
अब, जब x तथा y दोनों धनात्मक हों, तो
f(x) = f(y)
`x/(1 + |x|) = y/(1 + |y|)`
`x/(1 + x) = y/(1 + y)`
x = y
x तथा y दोनों ऋणात्मक हों, तो
f(x) = f(y)
`x/(1 + |x|) = y/(1 + |y|)`
`x/(1 - x) = y/(1 - y)`
x = y
अतः f(x) एकैकी फलन है।
अब, मान लीजिए y ∈ R इस प्रकार है की, -1 < y < 1
यदि y ऋणात्मक हो, तो R में एक अवयव x = `y/(1 + y)` इस प्रकार विद्यमान होगा कि,
f(x) = `f(y/(1 + y)) `
`= (y/(1 + y))/(1 + |y|/(|1 + y|)`
= `(y/(1 + y))/(1 + (-y)/(1 + y)) `
= y
यदि, y धनात्मक हो, तो R में एक अवयव x = `y/(1 - y)` इस प्रकार विद्यमान होगा कि,
f(x) = `f(y/(1 - y))`
`= ((y)/(1 - y))/(1 + |y|/(|1 - y|)) `
`= (y/(1 - y))/(1 + y/(1 - y)) `
= y
अतः फलन f आच्छादक फलन है।
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