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Question
सिद्ध कीजिए कि `f (x) = 1/x` द्वारा परिभाषित फलन f : R* → R* एकैकी तथा आच्छादक है, जहाँ R* सभी ऋणेतर वास्तविक संख्याओं का समुच्चय है। यदि प्रांत R* को N से बदल दिया जाए, जब कि सहप्रांत पूर्ववत R* ही रहे, तो भी क्या यह परिणाम सत्य होगा?
Solution
`f (x) = 1/x`
एकैकी के लिए:
मनना है कि x, y ∈ R
f(x) = f(y)
`1/x = 1/y`
अंत: x = y होने के कारण f एकैकी फलन है।
आच्छादक के लिए:
मनना है, y ∈ R*
`x = 1/y` ∈ R*
`f(x) = 1/((1/y)) = y`
अंत: f आच्छादक है।
`f(x) = 1/x` द्वारा परिभाषित फलन f : R → R* एकैकी तथा आच्छादक है। `f(x) = 1/x` द्वारा परिभाषित फलन f : N → R* है।
`f (x_1) = f (x_2)`
`1/x_1 = 1/x_2`
`x_1 = x_2`
अंत: f एकैकी फलन है परंतु आच्छादक नहीं है।
f(-1) = f(1)
इसके अलावा, यह स्पष्ट है कि f आच्छादक नहीं है, क्योंकि 1.2 ∈ R* के लिए N में कोई x बाहर नहीं निकलता है जैसे कि f(x)= `1/1.2`
इसलिए, फलन f एक-से-एक है, परंतु आच्छादक नहीं है।
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