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Question
निम्नलिखित फलन की एकैक (Injective) तथा आच्छादी (Surjective) गुणों की जाँच कीजिए :
f(x) = x2 द्वारा प्रदत्त f : N → N फलन है।
Solution 1
`f(x) = x^2` द्वारा प्रदत्त f : N → N फलन है।
माना है, x, y ∈ N
f(x) = f(y)
`x^2 = y^2`
x = y ⇒ f एकैकी है।
जब 2 ∈ N, f(x) = x2 = 2 ⇒ f आच्छादक है।
अंत: फलन f एकैकी है परंतु आच्छादि नहीं है।
Solution 2
f: Z → Z, f(x) = x2 द्वारा दिया गया है
Z = {O, ±1, ±2, ±3,...}
(a) f : Z → Z
मान लीजिए, -1, 1 ∈ Z, f (-1) = f(1)
⇒ 1 = 1
लेकिन -1 ≠ 1 ∴f आच्छादक नहीं है, यानी, f एकैक नहीं है।
(b) ऐसे कई अवयव हैं जो सहप्रांत पूर्ववत से संबंधित हैं लेकिन इसके डोमेन z में कोई सहप्रांत पूर्ववत नहीं है।
उदाहरण के लिए, 2 ∈ Z (सहप्रांत पूर्ववत) लेकिन `2^(1//2)!= Z`
∴ अवयव 2 के सहप्रांत Z में कोई पूर्ववत नहीं है।
f आच्छादक नहीं है अर्थात, f एकैकी नहीं है।
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