मान लीजिए हमारे पास A, B, C और D बक्से हैं जिसमें रखी संगमरमर की लाल, सफेद और काली टुकड़ियों का विवरण निम्न तरीके से है यादृच्छया एक बॉक्स चुना जाता है तथा इससे एक टुकड़ा निकाला - Mathematics (गणित)

Question

मान लीजिए हमारे पास A, B, C और D बक्से हैं जिसमें रखी संगमरमर की लाल, सफेद और काली टुकड़ियों का विवरण निम्न तरीके से है यादृच्छया एक बॉक्स चुना जाता है तथा इससे एक टुकड़ा निकाला जाता है। यदि टुकड़ा लाल हो तो इसे बॉक्स A, बॉक्स B, बॉक्स C से निकाले जाने की क्या प्रायिकता है?

बॉक्स	संगमरमर की टुकड़ियों का रंग
बॉक्स	लाल	सफेद	काला
A	1	6	3
B	6	2	2
C	8	1	1
D	0	6	4

Sum

Solution

दिए गए 4 बॉक्स में से एक बॉक्स चुने जाने की प्रायिकता = $\frac{1}{4}$

अर्थात P(E₁) = P(E₂) = P(E₃) = P(E₄) = $\frac{1}{4}$

मान लीजिए 4 घटना लाल रंग की टुकड़ी निकालनी है, बॉक्स A में कुल 10 टुकड़ियाँ है, जिनमें 1 लाल है।

∴ $P (\frac{A}{E_{1}}) = \frac{1}{10}$

इसी प्रकार $P (\frac{A}{E_{2}}) = \frac{6}{10}, P (\frac{A}{E_{3}}) = \frac{8}{10}, P (\frac{A}{E_{4}}) = 0$

(i) पुनः बेज़-प्रमेय से,

$P (\frac{E_{1}}{A}) = \frac{P (E_{1}) \times P (\frac{A}{E_{1}})}{P (E_{1}) \times P (\frac{A}{E_{1}}) + P (E_{2}) \times P (\frac{A}{E_{2}}) + P (E_{3}) \times P (\frac{A}{E_{3}}) + P (E_{4}) \times P (\frac{A}{E_{4}})}$

= $\frac{\frac{1}{4} \times \frac{1}{10}}{\frac{1}{4} \times \frac{1}{10} + \frac{1}{4} \times \frac{6}{10} + \frac{1}{4} \times \frac{8}{10} + \frac{1}{4} \times 0}$

= $\frac{1}{1 + 6 + 8}$

= $\frac{1}{15}$

(ii) पुनः बेज़-प्रमेय से,

$= P (\frac{E_{2}}{A}) = \frac{P (E_{2}) \times P (\frac{A}{E_{2}})}{P (E_{1}) \times P (\frac{A}{E_{1}}) + P (E_{2}) \times P (\frac{A}{E_{2}}) + P (E_{3}) \times P (\frac{A}{E_{3}}) + P (E_{4}) \times P (\frac{A}{E_{4}})}$

= $\frac{\frac{1}{4} \times \frac{6}{10}}{\frac{1}{4} \times \frac{1}{10} + \frac{1}{4} \times \frac{6}{10} + \frac{1}{4} \times \frac{8}{10} + \frac{1}{4} \times 0}$

= $\frac{6}{1 + 6 + 8}$

= $\frac{6}{15}$

= $\frac{2}{5}$

(iii) तथा बेज़-प्रमेय से,

$= P (\frac{E_{3}}{A}) = \frac{P (E_{3}) \times P (\frac{A}{E_{3}})}{P (E_{1}) \times P (\frac{A}{E_{1}}) + P (E_{2}) \times P (\frac{A}{E_{2}}) + P (E_{3}) \times P (\frac{A}{E_{3}}) + P (E_{4}) \times P (\frac{A}{E_{4}})}$

= $\frac{\frac{1}{4} \times \frac{8}{10}}{\frac{1}{4} \times \frac{1}{10} + \frac{1}{4} \times \frac{6}{10} + \frac{1}{4} \times \frac{8}{10} + \frac{1}{4} \times 0}$

= $\frac{8}{1 + 6 + 8}$

= $\frac{8}{15}$

अतः लाल रंग की टुकड़ी बॉक्स A, बॉक्स B, बॉक्स C से चुने जाने की प्रायिकता क्रमशः $\frac{1}{5}, \frac{2}{5} और \frac{8}{15}$ है।

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बेज़-प्रमेय

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Q 12.Q 11.Q 13.

Chapter 13: प्रायिकता - अध्याय 13 पर विविध पश्नावली [Page 600]

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NCERT Mathematics - Part 1 and 2 [Hindi] Class 12

Chapter 13 प्रायिकता
अध्याय 13 पर विविध पश्नावली | Q 12. | Page 600

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