Question

मान लीजिए `f(x) = {(a + bx, x < 1), (4, x = 1), ( b - ax, x > 1):}` और यदि `lim_(x → 1) f(x) = f(1)` तो a और b के संभव मान क्या हैं?

Answer 1

जब x < 1, f(x) = a + bx

बाएँ पक्ष की सीमा ज्ञात करने हेतु, x का मान 1 से कम और 1 के निकट f(x) में रखने पर,

x	0.99	0.999	0.9999
f(x)	a + 1.99b	a + 0.999b	a + 0.9999b

∴ `lim_(x → 1^-) f(x) = a + b`

दाएँ पक्ष की सीमा ज्ञात करने के लिए, f(x) = b − ax, इसमें 1 से अधिक और 1 के निकट, x का मान रखने पर

x	1.01	1.0001	1.00001
f(x)	b − 1.01a	b − 1.0001a	b − 1.00001a

∴ `lim_(x → 1^+) f(x) = b - a`

∴ यदि x = 1 पर सीमा का अस्तित्व है तो

`lim_(x → 1^-) f(x) = a + b = b + a = f(1) = 4`

∴ b + a = 4           .....(i)

`lim_(x → 1^+) f(x) = b - a = f(1) = 4`

∴ b − a = 4          ....(ii)

समीकरण (i) और (ii) को जोड़ने पर,

2b = 8 या b = 4

समीकरण (i) में b = 4 रखने पर,

4 + a = 4 या a = 0

अतः a = 0, b = 4