Advertisements
Advertisements
Question
मान लीजिए a1, a2, ….. an, अचर वास्तविक संख्याएँ हैं और एक फलन f(x) = (x – a1) (x – a2) ….. (x – an) से परिभाषित है। `lim_(x → a_1)` f(x) क्या है?
किसी a ≠ a1, a2, ….. an के लिए `lim_(x→ a) f(x)` का परिकलन कीजिए।
Solution
गुणनखंड (x − a1) के लिए,
यदि x → a1, x − a1 → 0
∴ `lim_(x - a_1) (x - a_2) = (a_1 - a_2)`
f(x) = (x – a1) (x – a2) ….. (x – an)
`lim_(x - a_1) f(x) = lim_(x - a_1)` (x – a1) (x – a2) ….. (x – an)
= `lim_(x - a_1) (x - a_1) lim_(x - a_1) (x- a_2) (x - a_3) ...... (x - a_n)`
= 0 × (a1 − a2) (a1 − a3) .......(a − an) 0
जब a ≠ a1, a2 ........, an
जैसे ही x → a, x → a1 → a − a1
a − a1, न तो शून्य है न ही अपरिभाषित है।
इस प्रकार दूसरे गुणनखंड के मान a − a2, a − a3 ....., a - an होंगे।
अतः `lim_(x - a) f(x) = lim_(x - a)` (x – a1) (x – a2) ….. (x – an)
= (a – a1) (a – a2) ….. (a – an)
APPEARS IN
RELATED QUESTIONS
`lim_(x → 0) f(x)` और `lim_(x → 1) f(x)` ज्ञात कीजिए, जहाँ
`f(x) = {(2x + 3, x ≤ 0),(3(x+1), x > 0):}`
`lim_(x → 1) f(x)` ज्ञात कीजिए, जहाँ `f(x) = {(x^2 -1, x ≤ 1), (-x^2 -1, x > 1):}`
`lim_("x" → 0) f("x")` का मान प्राप्त कीजिए, जहाँ `f("x") = {(|"x"|/"x", "x" ≠ 0), (0, "x" = 0):}`
यदि f(x) = `{(|"x"| + 1,"x" < 0), (0, "x" = 0),(|"x"| -1, "x" > 0):}`
तो a के किन मानों के लिए `lim_("x" → "a") f("x")` का अस्तित्व है?
यदि फलन f(x), `lim_(x → 1) (f(x) - 2)/(x^2 - 1)` = π को संतुष्ट करता है, तो `lim_(x → 1)` f(x) का मान प्राप्त कीजिए।
किन पूर्णांकों m और n के लिए `lim_(x → 0) f(x)` और `lim_(x → 1) f(x)` दोनों का अस्तित्व है, यदि
`f(x) = {(mx^2 + n, x < 0),(nx + m, 0 ≤ x ≤ 1),(nx^3 +m,x > 1):}`
निम्नलिखित फलन का अवकलज ज्ञात कीजिए।
sin x cos x
