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Question
यदि f(x) = `{(|"x"| + 1,"x" < 0), (0, "x" = 0),(|"x"| -1, "x" > 0):}`
तो a के किन मानों के लिए `lim_("x" → "a") f("x")` का अस्तित्व है?
Solution
दिया गया फलन:
f(x) = `{(|"x"| + 1,"x" < 0), (0, "x" = 0),(|"x"| -1, "x" > 0):}`
(i) x = 0 पर,
`lim_("x" → 0^-) f("x") = lim_("x" → 0^-) (1 - "x") = 1`
`lim_("x" → 0^+) f("x") = lim_("x" → 0^+) ("x" - 1) = -1`
`lim_("x" → 0^-) f("x") ≠ lim_("x" → 0^+) f("x")`
x = 0 पर `lim_("x" → 1) f("x")` का अस्तित्व नहीं है।
(ii) जब a < 0
`lim_("x" → "a"^-) f("x") = lim_("x" → "a"^-) (1 - "x") = 1 - "a"`
`lim_("x" → "a"^+) f("x") = lim_("x" → "a"^+) (1 - "x") = 1 - "a"`
∴ `lim_("x" → "a"^-) f("x") = lim_("x" → "a"^+) f("x")`
अर्थात् `lim_("x" → "a") f("x") = 1 - "a"`
(iii) जब a > 0
`lim_("x" → "a"^-) f("x") = lim_("x" → "a"^-) ("x" - 1) = "a" - 1`
`lim_("x" → "a"^+) f("x") = lim_("x" → "a"^+) ("x" - 1) = "a" - 1`
∴ `lim_("x" → "a"^-) f("x") = lim_("x" → "a"^+) f("x")`
अतः `lim_("x" → "a") f("x") = "a" - 1`
इस प्रकार,
जब a < 0, `lim_("x" → "a") f("x") = 1 - "a"`
जब a > 0 `lim_("x" → "a") f("x") = "a" - 1`
अतः सभी a, a ≠ 0 के लिए `lim_("x" → "a")` f(x) का अस्तित्व है।
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