Question

निम्नलिखित प्रश्न में से दीर्घवृत्त में नाभियों और शीर्षों के निर्देशांक, दीर्घ और लघु अक्ष की लंबाइयाँ, उत्केंद्रता तथा नाभिलंब जीवा की लंबाई ज्ञात कीजिए:

`x^2/100 + y^2/400 = 1`

Answer 1

दिया गया समीकरण `x^2/100 + y^2/100 = 1` या `x^2/10^2 + y^2/20^2 = 1` है।

यहाँ, `y^2/400` का हर `x^2/100` के हर से बड़ा है।

इसलिए, दीर्घ अक्ष, y-अक्ष के अनुदिश है, जबकि लघु अक्ष, x-अक्ष के अनुदिश है।

दिए गए समीकरण की तुलना `x^2/b^2 + y^2/a^2 = 1` से करने पर हमें b = 10 और a = 20 प्राप्त होता है।

∴ `c = sqrt(a^2 - b^2) = sqrt(400 - 100) = sqrt(300) = 10sqrt3`

इसलिए,

नाभियों के निर्देशांक (0, ± c) हैं अर्थात `(0, ±10sqrt3)`

शीर्षों के निर्देशांक (0, ±a) अर्थात् (0, ± 20) हैं।

दीर्घ अक्ष की लंबाई = 2a = 2 x 20 = 40

लघु अक्ष की लंबाई = 2b = 2 x 10 = 20

उत्केंद्रता = `c/a = (10sqrt3)/20 = sqrt3/2`

नाभिलंब जीवा की लंबाई = `(2b^2)/a = (2 xx 100)/20 = 10`.