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Question
निम्नलिखित प्रश्न में समाकलन का मान प्रतिस्थापन का उपयोग करते हुए ज्ञात कीजिए-
`int_0^1 sin^-1 ((2x)/(1 + x^2)) dx`
Solution
माना `int_0^1 sin^-1 ((2x)/(1 + x^2)) dx`
x = tan θ प्रतिस्थापित करने पर,
`dx = sec^2 theta d theta`
तथा `(2 tan theta)/(1 + tan^2 theta) = sin 2 theta`
जब x = 0
⇒ θ = 0
और x = 1
`=> theta = pi/4`
अत: `int_0^(pi/4) sin^-1 (sin 2 theta) xx sec^2 theta d theta`
`2 = int_0^(pi/4) theta sec^2 theta d theta`
`= 2 [(theta . tan theta)_0^(pi/4) - int_0^(pi/4) 1 * tan theta d theta]`
`= 2 [pi/4 tan pi/4 - 0] - 2 [log cos theta]_0^(pi/4)`
`= pi/4 + 2 [log cos pi/4 - log cos 0]`
`= pi/2 + 2 [log 1/sqrt2 - log 1]`
`= pi/2 - log 2`
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