Question

सिद्ध कीजिए कि, ऊँचाई से जमीन पर मुक्त रूप से गिरने वाले पिंड की अंतिम ऊर्जा उस पिंड की प्रारंभिक स्थितिज ऊर्जा का रूपांतरण है।

Answer 1

मानो कि जमीन से h ऊँचाई पर किसी स्थान A पर m द्रव्यमानवाला कोई पिंड प्रारंभ में विरामावस्था में है। मानो कि, स्थान A से छोड़ने पर यह पिंड स्वतंत्र रूप में तथा गुरुत्व त्वरण (g) के प्रभाव में ABC मार्ग से नीचे गिरता है।

(हवा के अवरोध पर विचार न करते हुए।)

(1) स्थान A पर होने की स्थिति में u (प्रारंभिक वेग) = 0

∴ पिंड की गतिज ऊर्जा = `1/2m u^2 = 0`

इस पिंड की स्थितिज ऊर्जा = mgh, यहाँ, g = गुरुत्व त्वरण

∴ पिंड की संपूर्ण ऊर्जा = 0 + mgh = mgh.

(2) जब पिंड स्थान B पर हो,

`v 2/1 = u^2 + 2gx = 2gx`

जहाँ `v_1` = पिंड का वेग तथा x = AB

स्थितिज ऊर्जा का गतिज ऊर्जा में रूपांतर

पिंड की गतिज ऊर्जा = `1/2mv_1^2`

= `1/2m xx 2gx` ....(1) से

= mgx

पिंड की स्थितिज ऊर्जा = mg(h - x)

= mgh - mgx

∴ पिंड की संपूर्ण ऊर्जा = mgx + mgh - mgx = mgh

(3) जब पिंड स्थान C पर हो तथा उसका वेग `v` हो, तो

`v^2 = u^2 + 2gh = 2gh` (स्थान A पर u = 0) .....(2)

∴ पिंड की गतिज ऊर्जा = `1/2mv^2`

= `1/2m xx 2gh` .......[(2) से]

= mgh

पिंड की स्थितिज ऊर्जा = mgh = 0 ...........(h = 0)

पिंड की संपूर्ण ऊर्जा = mgh + 0 = mgh

इससे यह सिद्ध होता है कि स्वतंत्र रूप में नीचे गिरने वाले किसी पिंड की संपूर्ण ऊर्जा सदैव अचर होती है।