Question

समीकरण ${\displaystyle (\sqrt{3}-1)\cos \theta +(\sqrt{3}+1)\sin \theta =2}$ का व्यापक हल ज्ञात कीजिए।

[संकेत: ${\displaystyle \sqrt{3}-1=r\sin \alpha ,\sqrt{3}+1=r\cos \alpha }$ रखिए, जिससे tanα = ${\displaystyle \tan (\frac{\pi }{4}-\frac{\pi }{6})\alpha =\frac{\pi }{12}}$ प्राप्त होता है।]

Answer 1

ज्ञात है कि,

${\displaystyle (\sqrt{3}-1)\cos \theta +(\sqrt{3}+1)\sin \theta =2}$

${\displaystyle (\sqrt{3}-1)=r\sin \alpha }$ और ${\displaystyle (\sqrt{3}+1)}$ = rcosα रखने पर

वर्ग लेकर जोडने पर

${\displaystyle r^3=3+1-2\sqrt{3}+3+1+2\sqrt{3}}$

⇒ ${\displaystyle r^2=8}$

⇒ ${\displaystyle r^2=\pm 2\sqrt{2}}$

दी गई अभिव्यक्ती इस प्रकार लिखें

rsinα cosθ + rcosα sinθ = 2

⇒ ${\displaystyle r(\sin \alpha \cos \theta +\cos \alpha \sin \theta )= 2}$

⇒ ${\displaystyle 2\sqrt{2}(\alpha +\theta )=2}$

⇒ ${\displaystyle \sin (\alpha +\theta )=\frac{1}{\sqrt{2}}}$

अतः,

${\displaystyle \sin (\alpha +\theta )=\sin \frac{\pi }{4}}$

${\displaystyle (\alpha +\theta )=n\pi {(-1)}^2\frac{\pi }{4}}$ ......1

${\displaystyle (\sqrt{3}-1)=r\sin \alpha }$ को ${\displaystyle \sqrt{\sqrt{3}+1}=r\cos \alpha }$ से विभाजित करने पर,

${\displaystyle \frac{r\sin \alpha }{r\cos \alpha }=\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+1}}$

⇒ ${\displaystyle \tan \alpha =\frac{\tan \frac{\pi }{3}-\tan \frac{\pi }{4}}{1+\tan \frac{\pi }{3}\times \tan \frac{\pi }{4}}}$

⇒ ${\displaystyle \tan \alpha =\tan (\frac{\pi }{3}-\frac{\pi }{4})}$

⇒ ${\displaystyle \tan \alpha =\tan \frac{\pi }{12}}$

अतः,

${\displaystyle \alpha =\frac{\pi }{12}}$

${\displaystyle \alpha =\frac{\pi }{12}}$ को समीकरण (1) में रखने पर,

${\displaystyle (\frac{\pi }{12}+\theta )=n\pi {(-1)}^2\frac{\pi }{4}}$

⇒ ${\displaystyle \theta =n\pi {(-1)}^2\frac{\pi }{4}-\frac{\pi }{12}}$

दी गई अभिव्यक्ती का सामान्य हल ${\displaystyle \theta =n\pi {(-1)}^2\frac{\pi }{4}-\frac{\pi }{12}}$ है।