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Question
संलग्न आकृति में, O केंद्रवाले वृत्त के बाह्य भाग में स्थित बिंदु R से खींचे गए RM और RN स्पर्श रेखाखंड वृत्त को बिंदु M और N पर स्पर्श करते हैं। यदि l(O,R)= 10 सेमी तथा वृत्त की त्रिज्या 5 सेमी हो तो -
(1) प्रत्येक स्पर्श रेखाखंड की लंबाई कितनी होगी?
(2) ∠MRO का माप कितना होगा?
(3) ∠MRN का माप कितना होगा?
Solution
(1) रेख OM और रेख ON खींचो |
ΔOMR में,
∠OMR = 90° .........(स्पर्श रेखा प्रमेय)
पायथागोरस के प्रमेय से,
OR2 = OM2 + MR2
∴ 102 = 52 + MR2
∴ MR2 = 100 - 25
∴ MR2 = 75
∴ MR = `5sqrt3` सेमी ........(दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर)
RM = RN = `5sqrt3` सेमी ......(स्पर्श रेखाखंड का प्रमेय)
प्रत्येक स्पर्श रेखाखंड की लंबाई `underline(5sqrt3)` सेमी है |
(2) ΔRMO में,
∠OMR = 90° .........(स्पर्श रेखा प्रमेय)
OM = 5 सेमी और OR = 10 सेमी ......(दिया है)
∴ OM = `1/2`OR
∴ ∠MRO = 30° .............(त्रिभुज के 30°-60°-90° के प्रमेय का विलोम)
इसी प्रकार, ∠NRO = 30°
(3) ∠MRN = ∠MRO + ∠NRO ...........(कोणों के मापों का योग)
∴ ∠MRN = 30° + 30°
∴ ∠MRN = 60°
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