Question

संलग्न आकृति में, O केंद्रवाले वृत्त के बाह्य भाग में स्थित बिंदु R से खींचे गए RM और RN स्पर्श रेखाखंड वृत्त को बिंदु M और N पर स्पर्श करते हैं। यदि l(O,R)= 10 सेमी तथा वृत्त की त्रिज्या 5 सेमी हो तो - 

(1) प्रत्येक स्पर्श रेखाखंड की लंबाई कितनी होगी?

(2) ∠MRO का माप कितना होगा? 

(3) ∠MRN का माप कितना होगा? 

Answer 1

(1) रेख OM और रेख ON खींचो | 

ΔOMR में,

∠OMR = 90° .........(स्पर्श रेखा प्रमेय)

पायथागोरस के प्रमेय से,

OR² = OM² + MR²

∴ 10² = 5² + MR² 

∴ MR² = 100 - 25 

∴ MR² = 75

∴ MR = `5sqrt3` सेमी ........(दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर)

RM = RN = `5sqrt3` सेमी ......(स्पर्श रेखाखंड का प्रमेय)

प्रत्येक स्पर्श रेखाखंड की लंबाई  `underline(5sqrt3)` सेमी है | 

(2) ΔRMO में,

∠OMR = 90° .........(स्पर्श रेखा प्रमेय)

OM = 5 सेमी और OR = 10 सेमी ......(दिया है)

∴ OM = `1/2`OR

∴ ∠MRO = 30° .............(त्रिभुज के 30°-60°-90° के प्रमेय का विलोम)

इसी प्रकार, ∠NRO = 30°

(3) ∠MRN = ∠MRO + ∠NRO ...........(कोणों के मापों का योग)

∴ ∠MRN = 30° + 30°

∴ ∠MRN = 60°