Question

संलग्न आकृति में रेखा l, बिंदु O केंद्र वाले वृत्त को बिंदु P पर स्पर्श करती है। बिंदु Q त्रिज्या OP का मध्य बिंदु है। बिंदु Q से होकर जानेवाली जीवा RS || रेखा l। यदि RS = 12 सेमी हो, तो वृत्त की त्रिज्या ज्ञात कीजिए | 

Answer 1

रेख OR खींचो तथा आकृति में रेखा l पर बिंदु T लो |
∠OPT = 90°                               ...(स्पर्श रेखा-त्रिज्या प्रमेय) ...(1)
रेख RS || रेखा l                              ...(दिया है|)         
तथा OP एक तिर्यक रेखा है|
∠OQR ≅ ∠OPT                       ...(संगत कोण प्रमेय)
∴ ∠OQR = 90°                          ...[(1) से]  ...(2)
∴ रेख OQ ⊥ जीवा RS
∴ QR = `1/2` RS                        ...(वृत्त के केंद्र से जीवा पर डाला गया लंब जीवा को समद्विभाजित करता है|)                
∴ QR = `1/2` × 12

∴ QR = 6.

मानो कि, वृत्त की त्रिज्या 2x है |

∴ OR = OP = 2x                       ...(एक ही वृत्त की त्रिज्याएँ) 
OQ = `1/2`OP                           ...(बिंदु Q, रेख OP का मध्यबिंदु है|)
∴ OQ = `1/2` × 2x
∴ OQ = x

ΔOQR में,
∠OQR = 90°

∴ पायथागोरस के प्रमेय से,

OR² = OQ² + QR²
∴ (2x)² = x² + 6²
∴ 4x² - x² = 36
∴ 3x² = 36
∴ x² = `36/3`
∴ x² = 12
∴ x = √12
∴ x = 2√3
त्रिज्या = 2x = 2 × 2√3 = 4√3

वृत्त की त्रिज्या सेमी 4√3 है |