Advertisements
Advertisements
Question
सोबतच्या आकृतीत, बिंदू M वर्तुळ केंद्र आणि रेख KL हा स्पर्शिकाखंड आहे. जर MK = 12, KL = `6sqrt3`, तर
- वर्तुळाची त्रिज्या काढा.
- ∠K आणि ∠M
Solution
i. रेख KL हा बिंदू L मध्ये स्पर्श करणारा स्पर्शिकाखंड आहे व रेख ML ही वर्तुळाची त्रिज्या आहे. …..........[पक्ष]
∴ ∠MLK = 90° ........(i) [स्पर्शिका-त्रिज्या प्रमेय]
ΔMLK मध्ये, ∠MLK = 90°
∴ MK2 = ML2 + KL2 ...........[पायथागोरसचे प्रमेय]
∴ 122 = ML2 + `(6sqrt3)^2`
∴ 144 = ML2 + 108
∴ ML2 = 144 - 108
∴ ML2 = 36
∴ ML = `sqrt36` = 6 एकक .............[दोन्ही बाजूंचे वर्गमूळ घेऊन]
∴ वर्तुळाची त्रिज्या = 6 एकक
ii. आपल्याला माहीत आहे, की
ML = `1/2`MK
∴ ∠K = 30° ...........(ii) [30° - 60° - 90° त्रिकोणाच्या प्रमेयाचा व्यत्यास]
ΔMLK मध्ये,
∠L = 90° ...........[(i) वरून]
∠K = 30° .....................[(ii) वरून]
∴ ∠M = 60° .............[ΔMLK चा उर्वरित कोन]
APPEARS IN
RELATED QUESTIONS
सोबतच्या आकृतीत, केंद्र X आणि Y असलेली वर्तुळे परस्परांना बिंदू Z मध्ये स्पर्श करतात. बिंदू Z मधून जाणारी वृत्तछेदिका त्या वर्तुळांना अनुक्रमे बिंदू A व बिंदू B मध्ये छेदते. तर सिद्ध करा, त्रिज्या XA || त्रिज्या YB. खाली दिलेल्या सिद्धतेतील रिकाम्या जागा भरून पूर्ण सिद्धता लिहून काढा.
रचना : रेख XZ आणि ______ काढले.
सिद्धता : स्पर्शवर्तुळांच्या प्रमेयानुसार, बिंदू X, Z, Y हे ______ आहेत.
∴ ∠XZA ≅ ______ विरुद्ध कोन
∠XZA = ∠BZY = a मानू ______ (I)
आता, रेख XA ≅ रेख XZ ______(______)
∴ ∠XAZ = ______ = a ______ (समद्‌विभुज त्रिकोणाचे प्रमेय) (II)
तसेच रेख YB ≅ ______ ______(______)
∴ ∠BZY = ______ = a ______(______) (III)
∴ (I), (II) व (III) वरून,
∠XAZ = ______
∴ त्रिज्या XA || त्रिज्या YB ______(______)
आकृती मध्ये, केंद्र X व Y असणारी अंतर्स्पर्शी वर्तुळे बिंदू Z मध्ये स्पर्श करतात. रेख BZ ही मोठ्या वर्तुळाची जीवा लहान वर्तुळाला बिंदू A मध्ये छेदते. तर सिद्ध करा - रेख AX || रेख BY.
सोबतच्या आकृतीत रेख MN ही केंद्र O असलेेल्या वर्तुळातील जीवा आहे. MN = 25, जीवा MN वर बिंदू L असा आहे की ML = 9 आणि d(O,L) = 5 तर या वर्तुळाची त्रिज्या किती असेल?
एका बिंदूतून जाणारी किती वर्तुळे काढता येतील?
सोबतच्या आकृतीमध्ये, केंद्र C असलेल्या वर्तुळाची रेख DE ही जीवा आहे. रेख CF ⊥ जीवा DE आणि DE = 16 सेमी, तर DF ची लांबी काढा.
सोबतच्या आकृतीत, केंद्र A असलेल्या वर्तुळाला रेषा MN बिंदू M मध्ये स्पर्श करते. जर AN = 13 तसेच MN = 5 असेल, तर वर्तुळाची त्रिज्या काढा.
एका वर्तुळाच्या केंद्रापासून 15 सेमी अंतरावरील एका बिंदूतून त्या वर्तुळाला काढलेल्या स्पर्शिकाखंडाची लांबी 12 सेमी असेल, तर त्या वर्तुळाचा व्यास काढा.
आकृतीमध्ये, P केंद्र असलेले वर्तुळ O केंद्र असलेल्या अर्धवर्तुळाला Q व C बिंदूंत स्पर्श करते. जर व्यास AB = 10, AC = 6 असेल, तर लहान वर्तुळाची त्रिज्या x किती?
आकृतीमध्ये, `square`ABCD च्या बाजूंना आतून स्पर्श करणाऱ्या वर्तुळाचा केंद्र O आहे. जर AD ⊥ DC तसेच BC= 38, QB = 27, DC = 25 असेल, तर वर्तुळाची त्रिज्या काढा.
बिंदू A, B आणि C केंद्र असलेली तीन वर्तुळे परस्परांना बाहेरून स्पर्श करतात. जर AB = 36, BC = 32 आणि CA = 30 असेल, तर प्रत्येक वर्तुळाची त्रिज्या काढा.
