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प्रश्न
दो वृत्त परस्पर बिंदु A तथा बिंदु E पर प्रतिच्छेदित करते हैं। बिंदु E से खींची गई सामान्य छेदन रेखा वृत्तों को बिंदु B तथा बिंदु D पर प्रतिच्छेदित करती है। बिंदु B तथा बिंदु D से खींची गई स्पर्श रेखाएँ परस्पर बिंदु C पर प्रतिच्छेदित करती हैं। सिद्ध कीजिए कि, `square`ABCD एक चक्रीय चतुर्भुज है।
उत्तर
रेख AB, रेख AE और रेख AD खींचों |
∴ `{:(∠"EBC" = ∠"BAE", ........(1)),(∠"EDC" = ∠"DAE", ........(2)):}}` ...........(स्पर्श रेखा-छेदन रेखा के प्रमेय से)
ΔBCD में,
∠DBC + ∠BDC + ∠BCD = 180° .....(त्रिभुज के सभी कोणों के मापों का योग)
∠EBC + ∠EDC + ∠BCD = 180° ........(B-E-D)
∴ ∠BAE + ∠DAE + ∠BCD = 180° ..........[(1) और (2) से]
∴ (∠BAE + ∠DAE) + ∠BCD = 180°
∴ ∠BAD + ∠BCD = 180° ..........(कोणों के मापों का योग गुणधर्म)
∴ `square`ABCD एक चक्रीय चतुर्भुज है। ..........(चक्रीय चतुर्भुज के प्रमेय का विलोम)
