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प्रश्न
A(x1, y1), B(x2, y2) और C(x3, y3) एक ΔABC के शीर्ष हैं। माध्यिकाओं BE और CF पर स्थित क्रमश : ऐसे बिंदुओं Q और R के निर्देशांक ज्ञात कीजिए कि BQ : QE = 2 : 1 और CR : RF = 2 : 1 हो।
उत्तर
प्रश्न के अनुसार,
ΔABC के शीर्ष = A, B और C
A, B और C के निर्देशांक = A(x1, y1), B(x2, y2), C(x3, y3)
माना बिंदु Q के निर्देशांक (p, q) हैं।
दिया गया,
बिंदु Q(p, q),
`"B"(x_2, y_2)` और `"E"((x_1 + x_3)/2, (y_1 + y_3)/2)` को जोड़ने वाली रेखा को 2 : 1 के अनुपात में विभाजित करें।
फिर,
Q के निर्देशांक = `[(2 xx ((x_1 + x_3)/2) + 1 xx x_2)/(2 + 1), (2 xx ((y_1 + y_3)/2) + 1 xx y_2)/(2 + 1)]`
= `((x_1 + x_2 + x_3)/3, (y_1 + y_2 + y_3)/3)`
चूँकि BE, भुजा CA की माध्यिका है,
तो BE, AC को दो बराबर भागों में विभाजित करता है।
∴ AC का मध्य-बिंदु = E का निर्देशांक;
E = `((x_1 + x_3)/2, (y_1 + y_3)/2)`
तो, बिंदु Q का आवश्यक निर्देशांक;
Q = `((x_1 + x_2 + x_3)/3, (y_1 + y_2 + y_3)/3)`
अब,
माना बिंदु E के निर्देशांक (⍺, β) हैं।
दिया गया,
बिंदु R`(alpha, beta), "C"(x_3, y_3)` और `"F"((x_1 + x_2)/2, (y_1 + y_2)/2)` को जोड़ने वाली रेखा को 2 : 1 के अनुपात में विभाजित करें,
फिर R के निर्देशांक;
= `[(2 xx ((x_1 + x_2)/2) + 1 xx x_3)/(2 + 1), (2 xx ((y_1 + y_2)/2) + 1 xx y_3)/(2 + 1)]`
= `((x_1 + x_2 + x_3)/3, (y_1 + y_2 + y_3)/3)`
चूँकि CF भुजा AB की माध्यिका है।
तो, CF, AB को दो बराबर भागों में विभाजित करता है।
∴ AB का मध्य-बिंदु = F के निर्देशांक;
F = `((x_1 + x_2)/2, (y_1 + y_2)/2)`
तो, बिंदु R का अभीष्ट निर्देशांक;
= `((x_1 + x_2 + x_3)/3, (y_1 + y_2 + y_3)/3)`
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